11

Глава «Степенные ряды» 1

§1 Степенной Ряд; Круг И Радиус Сходимости. 1

§2 Свойства степенных рядов в круге сходимости; понятие об аналитической функции. 4

§3 Ряд Тейлора. Разложение функции вещественной переменной в ряд Тейлора. 5

§4 Ряды Тейлора для функций ex, sin(x), cos(x), ln(1+x). Аналитические функции ez, sin(z), cos(z); формула Эйлера. 8

§5 Приложения рядов Тейлора для вычисления и интегрирования функций. 9

Глава «Степенные ряды»

§1 Степенной Ряд; Круг И Радиус Сходимости.

Пусть задана числовая последовательность .

Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида

Замечания.

1. На комплексной плоскости или на числовой прямой степенной ряд определяет множество числовых рядов, одни из которых сходятся (абсолютно или условно), а другие – расходятся. Поэтому исследование степенного ряда сводится к установлению области его сходимости – множества

2. (а) Всякий степенной ряд сходится хотя бы в одной точке ; (б) существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной точке; (в) существуют степенные ряды, сходящиеся на всей комплексной плоскости.

(а): z=z₀. S_n(z₀)=a₀

(б):

( в)

Теорема (Область сходимости степенного ряда).

«Если существует предел , то степенной ряд

(1) сходится абсолютно в области ( внутри круга радиуса r с центром в точке z₀ на комплексной плоскости; внутри отрезка (х₀-r, х₀+ r) – на числовой прямой)

и (2) расходится в области .»

Док-во теоремы следует из признаков Коши и Даламбера абсолютной сходимости числового ряда :

Замечания.

1. Неотрицательное число r=1/q называется «радиусом сходимости степенного ряда».

Очевидно, что , т.е. существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной точке(r=0), сходящиеся внутри круга конечного радиуса (0<r<∞)и сходящиеся на всей комплексной плоскости ( на всей числовой оси) (r=∞).

2. Сходимость числовых рядов в точках окружности или на концах интервала – в точках х1=x₀ - r; x2=x₀ + r, необходимо исследовать отдельно.

Пример. Исследовать область сходимости степенного ряда

1. По признаку Коши

• 

2. Сходимость на концах интервала :

Таким образом, степенной ряд

(1) сходится абсолютно для

2. сходится условно в точке x1= -1;

(3) расходится

ЭКЗ. Исследовать и изобразить на комплексной плоскости область сходимости степенного ряда

§2 Свойства степенных рядов в круге сходимости; понятие об аналитической функции.

Пусть ст. ряд сходится (абсолютно) в области D: |z|<r.

Тогда на множестве D задана комплексно-значная функция – сумма сходящего числового ряда

Определение. Аналитической функцией называется функция (однозначное соответствие, отображение), задаваемая суммой степенного ряда в области его сходимости .

Например, - аналитическая функция.

Свойства аналитической функции (свойства степенных рядов внутри круга сходимости).

1. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом радиус сходимости не изменяется.

2. Аналитическая функция является непрерывно-дифференцируемой функцией (имеет непрерывные производные любого порядка), при этом производная и первообразная аналитической функции определяются суммой степенного ряда, полученного почленным дифференцированием и интегрированием исходного степенного ряда; .

§3 Ряд Тейлора. Разложение функции вещественной переменной в ряд Тейлора.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в точке x₀, т.е. в некоторой окрестности точки существуют непрерывные производные любого порядка.

Из курса анализа известно, что имеет место формула Тейлора порядка “n”

Очевидно, что формула Тейлора представляет равенство S(x)=S_n(x)+R_n(x) для сходящегося степенного ряда , причем полином Тейлора

является “n”-ой частичной суммой ряда S_n(x)=T_n(x,x₀), а остаток формулы Тейлора – суммой остатка ряда . Поэтому,если предел остатка формулы Тейлора , степенной ряд в точке «х» «сходится к значению функции» S(x)=f(x).

Теорема.

«Если производные бесконечно-дифференцируемой функции “f” ограничены по модулю в r-окрестности точки х₀

,

степенной ряд сходится абсолютно в этой окрестности и его сумма S(x) определяет «ряд Тейлора для функции f в окрестности точки х₀» : S(x)=f(x)»

Док-во. Для любой точки окрестности

Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.

Вычисляются значения функции и ее производных в точке дифференцируемости, и записывается ряд Тейлора.

Находится радиус сходимости этого степенного ряда.

Записывается разложение .

Пример.

2)

==================================================================

(ДЗ.+1: « (1)Разложить функцию. Ln(1+x) в ряд Тейлора в окрестности точки Х₀=1; (2) установить область сходимости этого степенного ряда и (3) вычислить приближенное

значение с погрешностью не более eps=5.10^-5 )

Замечания.

1. Для разложения в ряд Тейлора дробно-рациональных функций рекомендуется использовать степенной ряд бесконечно-убывающей геометрической прогрессии и разложение рациональной дроби на простейшие.

Например,

Разложение функции в ряд Тейлора можно получить, используя свойство почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда.

Например,

!!! Обратите внимание : полученный степенной ряд представляет разложение функции f(x)=arctg(x) в окрестности точки х₀=0 и следовательно его коэффициенты определяют значения функции и ее производных в этой точке:

§4 Ряды Тейлора для функций e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x). Аналитические функции e^z, sin(z), cos(z); формула Эйлера.

Функции e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x) имеют производные любого порядка. “Построим для них соответствующие ряды Тейлора:

Докажем, например, (2).

Определения. Пусть

1.

2.

Очевидно, что определенные на комплексной плоскости аналитические функции совпадают на числовой оси с соответствующими вещественными функциями e^x, sin(x), cos(x); .

«Возврат кредита 1 семестра»…

Докажем формулу Эйлера , используя : (1)определение «комплексной экспоненты» e^z для z=jx; ; (2) ряды Тейлора для функций sin(x), cos(x) и (3) свойство сходящихся числовых рядов

§5 Приложения рядов Тейлора для вычисления и интегрирования функций.

Пусть задан (получен, найден) степенной ряд для функции f в окрестности точки х₀

За приближенное значение этой функции в точке естественно принять частичную сумму числового ряда ряда , причем погрешность такого приближения определяется оценкой суммы остатка ряда: .

Например, для вычисления приближенного значения с погрешностью eps=10^-5 запишем соответствующий степенной ряд

-----------------------------------------------------------------------------------------

- -------------------------------------------------------------------------------------------

021; 0.866026];

В математике и в физике встречаются бесконечно-дифференцируемые аналитические функции, задаваемые интегралами с переменным пределом, которые не выражаются через композицию элементарных функций. Такие функции называются “специальными функциями” и как аналитические определяются соответствующими степенными рядами. Значения этих функций приводятся в соответствующих справочниках:

1. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш; Специальные функции, М., Наука, 1997.

2. М. Абрамовиц, И. Стиган; Справочник по специальным функциям, М., Наука, 1979

Примеры некоторых специальных функций :

Построим степенной ряд и вычислим значение «интеграла ошибок» – функции:

Для решения этой задачи запишем и почленно проинтегрируем степенной ряд для экспоненты



Из справочника (1): erf(1)=0.84270

====================================================

ДЗ. (ЭКЗ) Построить степенной ряд для функции Si(x) и вычислить приближенное значение Si(1) с погрешностью eps=0.0001.