§7 Приложения операционного исчисления.

I] Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем ЛДУ первого порядка.

После преобразования Лапласа задача Коши для функции - оригинала отображается в алгебраическое уравнение для его изображения. Обратное преобразование Лапласа решения этого уравнения восстанавливает соответствующее решение задачи Коши.

Примеры. 1)

1. 

II]Решение линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

1)

2)

III] Вычисление несобственных интегралов.

=[(p²-1)/(p²+1)²](p=2)=3/25 (Д-860.91: a=2; m=1)

IV] Операторный метод расчета электрических цепей.

Если обозначить:

• R,L,C – сопротивление, индуктивность и емкость;

• I(t), U(t) – ток и напряжение в момент “t”,

для основных элементов электрической цепи можно записать следующие соотношения:

Закон Ома E=U_R+U_L+U_C для замкнутой электрической R,L,C –цепи с постоянной э.д.с. Е в операторной форме принимает вид

§8 Идз « Операционное исчисление»

ЗАДАНИЕ.

Вар.	1) f(p)	2) f(x,t)	3) f(p)	4) f(x)	5) f(x)
1		(t-x)ex			xcos(2x)e-2x Д-860.07

1. Найти оригинал f(x) по заданному его изображению f(p) : (а) разложив дробь на простейшие и (б) используя теорему о свертке оригиналов.

2. Найти изображение функции,(а) определив ее как свертку оригиналов (), (б) найдя изображения f(p), g(p) и (в) записав теорему об изображении свертки оригиналов.

3. Восстановить оригинал f(x) по заданному его изображению f(p), обосновав процедуру восстановления ссылкой на соответствующие теоремы операционного исчисления.

4. Изобразить график заданного оригинала f(x), записать аналитическое выражение функции через функции Хэвисайда и найти изображение оригинала, используя теорему запаздывания.

5. Вычислить несобственный интеграл ,определив его как значение изображения оригинала в точке исравнить полученный результат со значением несобственного интеграла из справочника (Двайт, Таблицы интегралов и…).

Пример.

По теорема о свертке оригиналов:

Аналогичный результат получим, разложив дробь на простейшие:

2)

3)

(a) По свойству линейности: L(f-2g)=L(f)-2L(g); (b) по т. смещения:

(с) По т. запаздывания:  g(x)=e^{-(x - 2)}sin(x - 2)δ(x - 2)

f(x)=e^-xsin(x) δ(x) - 2 e^{-(x - 2)}sin(x - 2)δ(x - 2)

4)

(a)

(б) Запишем аналитический вид функции f, используя единичную функцию Хэвисайда: f(x)=(x+1)d(x) -(x+1)d(x-1) +0.5d(x-1) - 0.5d(x-2) =

= xd(x) +1d(x) -(x-1)d(x-1) - 3/2d(x-1) - 0.5d(x-2) ;

(в) по свойству линейности и т. запаздывания:

5. Из определения изображения оригинала следует, что

Такой же результат следует из формулы Д-860.07: при n=5 и a=2.