Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ»

Кафедра САПР

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1

по учебной дисциплине «методы оптимизации»

на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА МИНИМУМА УНИМОДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ»

Вариант 1

Выполнили:

Смирнов С.А.

Маркосов А.С.

Баранов А.А.

Группа: 5372

Факультет: КТИ

Проверил:

(должность, Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2007

Оглавление:

Задание…………………………………………………………………………….3

Описание методов оптимизации…………………………………………………3

Спецификация программы……………………………………………………….4

Листинг программы ……………………………………………………………...5

Результаты тестирования и Выводы…………………….……………………….7

Ответы на контрольные вопросы………………………………………………...8

Задание:

Цель работы – изучение методов одномерной минимизации функций одной переменной:

М1 – метода Свенна – золотого сечения-1;

Описание методов оптимизации:

Метод Свенна:

С помощью этого метода получаем начальный интервал локализации минимума.

Начальный этап:

1) задать x⁰ – произвольная начальная точка.

2) выбрать шаг h равным 0.001 или 0.01*|x⁰|.

Основной этап:

Шаг 1:

Установить направление убывания целевой функции. Для этого надо взять x₂=x₁+h. Если f1<f2, то надо поменять направление движения(h=-h и взять x₂=x₁+h).

Шаг 2:

Вычислять f_k в точках x_k+1=x_k+h_k, где h_k=2h_k-1, k=2,3,…,n-1 до тех пор пока не придём в точку x_n такую что f_n>f_n-1.

Шаг 3:

Установить начальный интервал локализации минимума a₁=x_n-2 и b₁=x_n.

Метод Золотого Сечения 1:

Начальный этап:

1) Выбрать погрешность , начальный интервал [a₁, b₁].

2) Вычислить стартовые точки по формулам: ₁ = a₁ + 0.618L₁, ₁ = a₁ + 0.382L₁.

3) Принять k = 1.

Основной этап:

Шаг 1:

1)Сократит текущий интервал локализации рассмотрением двух ситуаций:

если f1<f2, то a_k+1=a_k,

b_k+1=_k,

_k+1=_k,

и найти _k+1=a_k+1+0.382L_k+1,

иначе f1>f2, то a_k+1=_k,

b_k+1=b_k,

_k+1=_k,

и найти _k+1=a_k+1+0.618L_k+1, где L_k+1=| b_k+1- a_k+1|

2) Положить k=k+1.

Шаг 2:

Проверить критерий окончания поиска:

если L=|a-b| <  -остановиться, точнее фиксируем аппроксимирующий минимум x*=(a+b)/2.

Блок-схемы использованных методов.

Метод Свенна

h1=0.1*|x1|

x2=x1+h1

x1=x2; x2=x1+h;

h=2*h;

Меняем местами а и b

h=-h;

x2=x1+h;

Да

Нет

Нет

Да

Нет

Да

Метод Золотого сечения 1:

x=(a+b)/2;

Спецификация программы:

Текст программы:

Результаты работы программы

минимум функций по Свенну X(min) = 0.469043

интервал по Свенну: 0.46875 … 0.469336

число повторений цикла после установления интервала k=14

минимум функций по золотому сечению: 0.469141

число повторений цикла после установления интервала k1=2

Выводы:

В результате лабораторной работы были изучены методы одномерной минимизации функций одной переменной. Минимум функции был найден посредством метода Свенна и последующего применения метода золотого сечения-1 (результат совпал с ожидаемым).

Ответы на контрольные вопросы:

1. Сравните метод золотого сечения, Фибоначчи и дихотомического поиска по числу вычислений значений функций для достижения заданной точности при локализации минимума.

Метод дихотомии наиболее прост в реализации, но по сравнению с методом золотого сечения он менее эффективен. Метод Фибоначчи использует числа Фибоначчи и поэтому он быстрее сходится к искомому минимуму, чем метод золотого сечения. 2.Указать отличие метода золотого сечения 1 от метода золотого сечения 2?

ЗС-1 опирается на точное вычисление точек на каждой итерации, а ЗС-2 использует соблюдения правила симметрии и для старта требуется указать одну и только одну точку.

3. Как сокращается текущий интервал локализации минимума в методах Фибоначчи-1 и Фибоначчи-2? Фиб1: Начальный этап

(1) Задать константу , начальный интервал [a1, b1], длину конечного интервала Ln и определить число n так, чтобы выполнялось условие Fn > (b1 - a1)/Ln.

(2) Взять две пробные точки 1 = a1 + (Fn-2/Fn)(b1 - a1) и 1 = a1 + (Fn-1/Fn)(b1-a1). Положить k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Сократить текущий интервал локализации:

(1) Если f(k) < f(k), то положить ak+1 = ak, bk+1 = k,k+1 =k и вычислить новую точку k+1 = ak+1 + (Fn-k-2/Fn-k)Lk+1, где Lk+1 = bk+1 - ak+1; перейти на шаг 2.

(2) Если f(k)>> f(k),то положить ak+1 =k, bk+1 = bk, k+1 = k и вычислить k+1 = ak+1 + (Fn-k-1/Fn-k) Lk+1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

(1) Заменить k на k+1. (2) Если k = n - 1, перейти на шаг 3, иначе - на шаг 1.

Шаг 3. Найти аппроксимирующий минимум х(*):

(1) Положить k = k + .

(2) Если f(k) > f(k), то x(*) = (k + bk)/2. В противном случае - x(*) = (ak + k)/2.

Фиб2 : сокращение происходит аналогично, только вначале берется не 2 точки а одна, которая откладывается от любого из концов интервала, и все последующие точки берутся по правилу симметрии Х2 = Ак+Вк–Х1 и сравнением 4ех ситуаций (как в методе ЗС-2) происходит сокращение интервала.

4. Определите достоинства и недостатки методов Ньютона и трехточечного поиска.

Метод трехточечного поиска позволяет сократить интервал локализации минимума на основе сравнения значений функции в пробных точках без вычисления производных. А в методе Ньютона минимизация f(x) основывается на использовании квадратичной аппроксимации функции f(x) в точке xk:

F(x) = f(xk) + f '(xk)(x - xk) + f ''(xk)(x - xk)2 * 1/2

В качестве приближения хk+1 к минимуму х* берется точка, в которой производная F'(x) равна нулю, т.е. f '(xk) + f ''(xk)(xk+1 -xk) = 0.

Таким образом, xk+1 = xk - f '(xk)/f ''(xk).

Итерационный процесс строит последовательность точек {xk}, которая при определенных условиях квадратично сходится к некоторой стационарной точке х* функции f(x), т.е. к точке, в которой f ' (x*) = 0. Процесс останавливается, когдаxk+1 - xk ≤  и f '(xk) ≤ , где  > 0 - заранее заданное малое число.

Существенными недостатками метода Ньютона являются: 1) сложность задания начального приближения х1 в малой окрестности искомого минимума х*; 2) необходимость вычисления вторых производных минимизируемой функции.

5.Что такое унимодальная функция и каково её значение в теории оптимизации?

Унимодальная функция – это функция которая имеет единственный минимум и монотонна по обе стороны от него. При этом у неё не должно быть горизонтальных участков. Унимодальная функция является основой в теории поиска, так как она разработана для большинства методов поиска.

6.Сформулировать необходимые и достаточные условия минимума функции одной переменной? Как преобразовать задачу на поиск максимума в задачу на минимум?

Аналитическое условие экстремума, т.е. равенство производной функции в данной точке, является необходимым и достаточным условием минимума. Задача на поиск максимума преобразуется в задачу на поиск минимума противоположной функции, т.е. задача на поиск максимум функции F(x), а на поиск минимума (-F(x))

7.Характерные особенности организации одномерного поиска?

Линейный поиск, рассматриваются только унимодальные функции.

Начальный интервал локализации минимума находится методом Свенна

Меньший интервал локализации получается путём рассмотрения значений функции в двух точках на ТИЛ, или в производной в одной точке, и выборе новых границ интервала.

8. Дайте геометрическую интерпретацию 2-х способов выбора последних точек в методе Фибоначчи.

Точки в методе Фибоначчи 1 находятся по формулам:

k+1 = ak+1 + (Fn-k-2/Fn-k)Lk+1 и k+1 = ak+1 + (Fn-k-1/Fn-k) Lk+1.

А очередная точка в методе Фибоначчи 2 находится по правилу симметрии Х2 = Ак+Вк–Х1

9