Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

кафедра МОЭВМ

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №2

«Исследование методов полиномиальной

интерполяции для поиска

минимума целевых функций»

Вариант 3

Выполнили Рыбаков М.

Миналенко С.

Куракин А.

Факультет КТИ

Группа № 6373

Преподаватель Тревгода М.А.

Санкт-Петербург, 2008

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ТРЕБОВАНИЕ ЗАДАНИЯ

Цель работы – сравнение двух методов одномерной минимизации – прямого и интерполяционного; разработка программы, реализующей прямой метод на этапе установления границ начального интервала и метод полиномиальной интерполяции для локализации искомого минимума.

Задание (Вариант 3):

Метод дихотомии-Пауэлла.

Тестовая функция f(x)=x⁴-14x³+60x²-70x.

Точность локализации минимума ε=10^-2.

Значение минимума x^*=0,780884.

График рассматриваемой функции:

2. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ

Метод дихотомии относится к последовательным стратегиям. Задается начальный интервал неопределенности и требуемая точность. Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках. Для их нахождения текущий интервал неопределенности делится пополам и в обе стороны от середины откладывается по ε/2, где ε- малое положительное число (в нашей программе переменная с именем delta). Условия окончания процесса поиска стандартные: поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины (переменная с именем eps).

Алгоритм:

Шаг 1. Задать начальный интервал неопределенности [a,b], ε>0 - малое число, L>0 – точность.

Шаг 2. Положить k=0.

Шаг 3. Вычислить ,,,.

Шаг 4. Сравнить с:

а) если , положить,и перейти к шагу 5;

б) если , положить,;

Шаг 5. Вычислить , и проверить условие окончания:

а) если , процесс поиска завершается и;

б) если , положитьk=k+1 и перейти к шагу 3.

Метод квадратичной интерполяции (метод Пауэла) относится к последовательным стратегиям. Задаётся начальная точка и с помощью пробного шага находятся три точки так, чтобы они были как можно ближе к искомой точке минимума. В полученных точках вычисляются значения функции. Затем строится интерполяционный полином второй степени, проходящий через имеющиеся три точки. В качестве приближения точки минимума берётся точка минимума полинома. Процесс поиска заканчивается, когда полученная точка отличается от наилучшей из трёх опорных точек не более чем на заданную величину.

Алгоритм:

Шаг 1. Задать начальную точку Х₁, величина шага ΔХ>0, ε₁ и ε₂ – малые положительные числа, характеризующие точность.

Шаг 2. Вычислить Х₂= Х₁+ ΔХ.

Шаг 3. Вычислить f(Х₁)=f₁ и f(Х₂)=f₂.

Шаг 4. Сравнить f(Х₁) с f(Х₂):

1. Если f(Х₁)>f(Х₂), положить Х₃= Х₁+2ΔХ.

2. Если f(Х₁)≤f(Х₂), положить Х₃= Х₁-ΔХ.

Шаг 5. Вычислить f(Х₃)=f₃.

Шаг 6. Найти F_min=min{ f₁, f₂, f₃}, Х_min=Х_i:f(Х_min)= F_min.

Шаг 7. Вычислить точку минимума интерполяционного полинома, построенного по трём точкам:

,

и величину функции f().Если знаменатель в формуле дляна некоторой итерации обращается в нуль, то результатом интерполяции является прямая. В этом случае рекомендуется обозначить Х₁= Х_min и перейти к шагу 2.

Шаг 8. Проверить условия окончания:

Тогда:

1. Если оба условия выполнены, процедура закончена и Х*;

2. Если хотя бы одно из условий не выполнено и [ Х₁, Х₃], выбрать наилучшую точку (Х_min или ) и две точки по обе стороны от неё. Обозначить эти точки в естественном порядке и перейти к шагу 6;

3. Если хотя бы одно из условий не выполнено и [ Х₁, Х₃], то положить Х₁=и перейти к шагу 2.

3. Блок-схема

4. Спецификация программы.

4.1. Исходные данные.

Исходными данными является начальная точка для алгоритма Swann, шаг для алгоритма Swann, шаг для Пауэлла, требуемая точность вычислений. (все перечисленные параметры вводятся перед компилированием, так что, по сути, исходными данными не являются, т.к. в задаче была указана одна функция и вся программа была оптимизирована под конкретные данные)

4.2. Выходные данные.

Выходными данными являются:

1. Значение границ интервала, полученного Swann, корень и интервал, полученные методом дихотомии и количество итераций.

2. Значение границ интервала, полученного Swann, корень полученный методом Пауэлла и количество итераций.

3. Значение границ интервала, полученного Swann, приблизительный корень и интервал, полученный методом дихотомии к 5-ой итерации, результат работы метода Пауэлла и количество итераций для каждого из алгоритмов.

4.4. Назначение программы.

Программа находит минимум функции три раза. Методом дихотомии, методом Пауэлла и комбинацией этих двух методов.

4.4.1 Основные переменные;

1. функция Swan

   Имя	Тип	Описание
   x1	double	Левая точка интервала
   x2	double	Правая точка интервала
   t	double	Шаг в Swan
   a	double	Левая граница интервала
   b	double	Правая граница интервала
   d	double	Вспомогательная переменная для шага
   k	int	Счетчик итераций

2. функция Dixotomia

   Имя	Тип	Описание
   x1	double	Левая точка интервала
   x2	double	Правая точка интервала
   a	double	Левая граница интервала
   b	double	Правая граница интервала
   eps	double	Эпсилон – точность вычислений
   delta	double	Шаг для выбора соседних от x1 точек в дихотомии
   len	double	сокращение однотипных вычислений
   k	int	Счетчик итераций

3. функция Pauell

Имя	Тип	Описание
x1	double	Левая точка интервала
x2	double	Средняя точка интервала
Х3	double	Правая точка интервала
a	double	Левая граница интервала
b	double	Правая граница интервала
eps	double	Эпсилон – точность вычислений
dx	double	Шаг для метода Пауэлла
f1,f2,f3,fd	double	Значение функции в соответствующих точках
d	double	значение точки минимума полинома
fmin	double	минимальное значение функции среди трех точек
xmin	double	аргумент при минимальном значении функции среди трех точек
k	int	Счетчик итераций

4.4.2 Процедуры и функции.

Имя	Параметры			Назначение
	входные	выходные	транзитные
fun	const double x	Return double		Находит значение целевой функции
Swann	float start_point	Return bool, double *a,double *b		алгоритм Свенна, выбирающий интервал неопределенности
abs	const double a	Return double		Модуль вещественного числа
Dixotomia	bool alone=false		double &a, double &b	Метод дихотомии
Pauell	bool alone=false		double &a,double &b	Метод Пауэлла

4.3. Место и форма представления данных.

Выходные данные выводятся на экран.

4.4. Сценарий диалога с пользователем

Работа программы предусматривает только одно место взаимодействия с пользователем: после вывода полученных результатов, программа ожидает нажатие любой клавиши и выполняет выход.