Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

кафедра МОЭВМ

Отчет по лабораторной работе №3 «Исследование методов линейного поиска»

Вариант 3

Выполнили	Рыбаков М. Миналенко С. Куракин А.
Факультет	КТИ
Группа №	6373
Преподаватель	Тревгода М.А.

Санкт-Петербург, 2008

1. Цель работы и требование задания

Цель работы – разработка программы, реализующей комбинированную процедуру минимизации функции многих переменных в заданном направлении.

Задание (Вариант 3):

Метод Больцано-Дэвидона.

Тестовая функция f(x)=-12x₂+4x₁²+4x₂²-4x₁x₂.

Значение минимума x^*=(0.5;1)

2. Краткое описание методов Метод Больцано.

Метод средней точки является вариантом метода деления интервала пополам. Последовательные сокращения интервала неопределённости производятся на основе оценки производной минимизируемой функции в центре текущего интервала.

Начальный этап. Для запуска необходимо:

1. задать [a,b] – начальный интервал локализации минимума, на границах которого знаки производных различны, т.е. f’(a₁)f’(b₁)<ε; ε – малое положительное число;

2. установить счётчик числа итераций k=1.

Основной этап

Шаг 1. Взять пробную точку x_k в центре текущего интервала и проверить критерий окончания поиска: (1) x_k=(a_k+b_k)/2; (2) если | f’(x_k)|≤ε и L_k=| b_k-a_k |≤ε, то остановится (x_k=х* - аппроксимирующий минимум).

Шаг 2. Сократить интервал:

1. если f’(x_k)>0, то положить а_к+1= a_k и b_к+1= х_k, в противном случае – а_к+1= х_k, b_к+1= b_k;

2. заменить к на к+1 и вернуться на шаг 1.

Метод Давидона.

Идея метода – идея метода кубической интерполяции при движении вдоль прямой в заданном направлении до тех пор пока не найдём две точки А и В, для которых знаки производных на концах интервала разные. Далее запускаем интерполяционный процесс, локализирующий минимум.

Начальный этап.

1. Задать ε=10^-7÷10^-6, направление поиска р и начальную точку х₁.

2. Вычислить производную по направлению в стартовой точке y’=(y’)^tp.

3. Выбрать начальный шаг α₁=min{η,|2(y₁-y₀)/y₁’|}, где η=1 или 2, y₀ – нижняя граница целевой функции.

4. Сдвигаем начало координат в точке α_а и запоминаем α_0.

α₀= α_а, α_b=α_b-α₀, α_a=0.

Основной этап.

Шаг 1. Найти аппроксимирующий минимум:

,

где ,- производные в точках по направлению.

Шаг 2. КОП.

Если ≤ε, то остановиться, х*=х’+( α₀+α_r)p.

Иначе возвращаемся на шаг 1 с [α_а,α_b] или [0,α_b] на основании 2-ух ситуаций:

1. Если<0, то α_b=α_b-α_r, α₀= α₀+α_а, α_a=0.

2. Если >0, то α_b=α_r.

3. Блок-схема

Свенн4. локализует интервал

[a,b], содержащий шаг, доставляющий в минимум функции вдоль прямой р.

метод Больцано. уменьшает интервал неопределенности на основе оценки производной минимизируемой функции в центре текущего интервала.

метод Давидона. идея метода кубической интерполяции при движении вдоль прямой в заданном направлении. метод выполняется с плавающими координатами. новый интервал выбирается на основе значений производной в точке по направлению.

TRUE

FALSE

TRUE

FALSE

Davidon