Алгоритмы методов оптимизации в разговорном виде / Метод линейной интерполяции

Метод линейной интерполяции (метод секущих)

Метод секущих предлагает заменить вторую производную f ''(x_k) в ньютоновской формуле её линейной аппроксимацией (f '(x_k)-f '(x_k-))/(x_k-x_k-1).

Тем самым очередное приближение х_k+1 к стационарной точке х* задаётся формулой вида

x_k+1 = x_k - f '(x_k) * (x_k - x_k-1) / ( f '(x_k) - f '(x_k-1)).

Легко видеть, что х_k+1 - точка пересечения с осью абсцисс секущей прямой, проходящей через точки х_k и х_k-1.

В отличие от метода Ньютона метод секущих гарантирует сходимость точек {x_k} к стационарной точке х*, однако, сходимость метода достигается ценой потери быстродейсвия. Как правило, метод дихотомии оказывается эффективнее метода секущих, хотя последний и получен из более быстродействующей схемы.

Начальный этап. Пусть методом Свенна получен интервал неопределённости [a₁,b], границы которого удовлетворяют неравенству f '(a₁)f '(b₁) < 0. Задать  - погрешность вычисления минимума и принять k=1.

Основной этап

Шаг 1. Найти очередное приближение х_k+1 к минимуму х* и проверить условие окончания поиска:

(1) x_k+1 = b_k - f '(b_k)*(b_k - a_k)/(f '(b_k) - f '(a_k));

(2) если f '(x_k+1) << , то остановиться.

Шаг 2. Уменьшить интервал поиска минимума:

(1) если f '(x_k+1) > 0, то a_к+1 = a_k, b_k+1 = x_k+1, в противном случае принять a_k+1 = x_k+1, b_k+1 = b_k;

(2) положить k = k + 1 и перейти на шаг 1.