Выводы:
В данной работе был использован метод Свенна получения начального интервала локализации минимума. Также сравниваются 2 метода линейный и аппроксимационный для функции двух переменных. Поиск ведется в пространстве, начиная с заданной начальной точки x0 по направлению p. Сравнивая методы нужно отметить высокую эффективность метода Дэвидона кубической аппроксимации. Как видно из сравнительной таблицы данный метод находит точный минимум всего за 1 итерацию при разных точностях, в отличие от линейного метода золотого сечения. При изменении начальной точки алгоритм Дэвидона выполняет задачу за 1 итерацию, когда методу ЗС2 требуется задание точности и несколько десятков итераций для нахождения точного минимума. Поскольку при другой начальной точке минимум будет другим, то в таблице не приведено сравнение результатов при другой начальной точке. Также для проверки были умышленно искусственно расширены границы начального интервала, для проверки метода. Результат не изменился 1 итерация и точный результат. Это можно связать с тем, что аппроксимация производится по более точному полиному 3-го порядка. И вероятно построенный полином очень близок к исследуемой функции, поэтому при первом же вычислении аппроксимирующего минимума выдается точный результат.
Ответы на контрольные вопросы:
-
Пояснить организацию линейного поиска на основе методов Золотого Сечения, Фибоначчи и Пауэлла.
В методах ЗС и Фибоначчи ТИЛ делится в отношении золотых чисел и соседних чисел последовательности Фибоначчи пока соседние точки не будут удовлетворять КОП. В методе Пауэлла в середине интервала берется точка предполагаемого минимума, которая вычисляется исходя из свойств аппроксимирующего полинома, который строится по известным данным интервала и значений функции в конкретных точках. Эта точка как бы предполагаемый минимум. Относительно этой точки сокращается ТИЛ пока не будет удовлетворен КОП.
2) Как изменится процедура минимизации методами Больцано, дихотомии, ДСК, Дэвидона при переходе от поиска на числовой прямой к поиску на плоскости R2?
F(x) -> F(x1,x2)
Числа a,b,λ,µ -> векторы a,b, λ,µ или смещения относительно начальной точки α b αa … КОП: |b-a|<ε -> ||a-b||<ε модуль заменится нормой
Y’(r) -> Y’(r,p) производная станет по направлению.
xk+1=xk+hk, hk=2hk-1 -> xk+1=xk+hk*p, hk=2hk-1 шаг на h станет шагом на h в направлении p.
3) Найти производную в точке x1=(1,0)t по направлению p1=(1,1)t для функции f(x) = x12 - x1x2 + 2x22 - 2x1.
Градиент G= (2x1-x2-2 , 4*x2-x1)t G(x0)= (0,-1)t
F’(x0,p) = G t *p = (2x1-x2-2 , 4*x2-x1)*(1,1) t = (0,-1)* (1,1)t =0-1=-1
4) Что является направлением наискорейшего спуска в точке x = (1,1)t для целевой функции y(x) = x12 + 2x22?
Им является вектор антиградиент в точке x = (1,1)t G= (2*x1,4*x2)t B точке х G= (2,4) t антиградиент -G= (-2,-4) t
5) Найдите минимум y(x) = x12 - x1x2 + 2x22 - 2x1 + ex1+x2, двигаясь из точки x = (0,0) в направлении наискорейшего спуска.
Градиент G(x)= (2x1-x2-2+ex1+x2,4x2-x1+ex1+x2)t G(x0)= (-1,1)t антиградиент -G= (1,-1)t
Y’(x,p) = (2x1-x2-2+ex1+x2,4x2-x1+ex1+x2)* (1,-1)t = 3x1 -5x2-2=0
-3x1+5x2+2=0
x1= α
x2= - α
3 α+5 α-2=0
8 α-2=0
α= 0.25
x1= 0.25
x2= -0.25
X=(0.25, -0.25)t