Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ»

Кафедра вычислительной техники

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3

по учебной дисциплине «методы оптимизации»

на тему «Исследование методов ЛИНЕЙНОГО ПОИСКА»

Вариант 1

Выполнил:

Студент (ка)___Никитина Т.И._____

Группа___________2375__________

Руководитель:

Алешкевич Павел Александрович

(должность, Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2004

Оглавление:

Задание…………………………………………………………………………….3

Описание методов оптимизации…………………………………………………3

Листинг программы ……………………………………………………………...4

Спецификация программы……………………………………………………….6

Результаты тестирования и Выводы…………………….……………………….7

Ответы на контрольные вопросы………………………………………………...7

Задание

Целью работы является разработка программы, реализующей процедуру минимизации функции многих переменных в заданном направлении;

Реализовать на языке С++ методы оптимизации. Протестировать программу и сравнить результаты работы заданных методов оптимизации при использовании различных критериев окончания поиска и при задании различных значений погрешности локализации минимума. Сделать выводы.

Описание методов оптимизации.

Метод Свенна. (для поиска в пространстве по направлению)

С помощью метода Свенна получают начальный интервал локализации минимума [a,b] .

Начальный этап. Для запуска метода необходимо:

(1) задать x₀ – начальная точка.

(2) выбрать шаг h равным 0.001 или min{η,|(y₁-y’)/y’₁|}, где η=1,2.

(3) выбрать направление поиска p.

Основной этап

Шаг 1. Установить направление убывания функции. Взять x₂=x₁+h*p. Если f₂>f_1, поменять направление движения.

Шаг 2. Вычислять x_k+1=x_k+h_k*p, h_k=2h_k-1 до тех пор пока не придём в точку x_n такую что f_n>f_n-1.

Шаг 3. Установить начальный интервал локализации минимума a₁=x_n-2 и b₁=x_n.

Метод Свенна 4.

Начальный этап. Для запуска метода необходимо:

(1) задать x₀ – начальная точка.

(2) выбрать шаг h равным 0.001 или min{η,|(y₁-y’)/y’₁|}, где η=1,2.

(3) выбрать направление поиска p.

Основной этап

Шаг 1. Установить направление убывания функции. h=h, если y’(x₀,p)<0 и h=-h, если y’(x₀,p)>0.

Шаг 2.Двигаться в направлении р, вычисляя значение функции в точках x_k+1=x_k+h_k*p, h_k=2h_k-1. Пока производная не поменяет знак, т.е. Y’_m-1*Y’_m<0

Шаг 3. Фиксируем начальный интервал: [X_m-1,X_m]

Метод Золотого Сечения 2. (для функции нескольких переменных)

Метод Золотого Сечения является процедурой линейного поиска минимума унимодальной функции f(x) на интервале [a, b], отличающейся тем, что на каждой итерации очередная пробная точка делит интервал локализации в отношении постоянном для всех интервалов τ=L₂/L₁=L₃/L₂=...L_n/L_n-1.

Начальный этап

(1) Задать константу , начальный интервал [a₁, b₁] вычисляется методом Свенна.

(2) Вычислить одну стартовую точку x₁ = a₁ + 0.618L*p L=|a-b|

(3) Положить k = 1.

Основной этап

Шаг 1. Взять очередную точку x₂=a₁+b₁-x₁ симметричную исходной x₁ и сократить ТИЛ рассмотрением четырёх ситуаций: если x₁<x₂ и f(x₁)<f(x₂) то a_k+1=a_k, b_k+1=x₂, x₁=x₁; если x₁<x₂ и f(x₁)>f(x₂) то a_k+1= x₁, b_k+1= b_k, x₁=x₂; если x₁>x₂ и f(x₁)<f(x₂) то a_k+1=x₁, b_k+1= b_k, x₁=x₁; если x₁>x₂ и f(x₁)>f(x₂) то a_k+1=a_k, b_k+1=x₁, x₁=x₂.

Положить k=k+1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска: если |a-b| <  фиксируем аппроксимирующий минимум x*=(a+b)/2.

и на Шаг 1.

Метод Дэвидона.

Этот метод является аналогом метода кубической аппроксимации в задачах поиска минимума функции нескольких переменных по заданному направлению. Идея метода заключается в том, чтобы на ТИЛ найти аппроксимирующий минимум строя полином 3-го порядка.

Начальный этап:

1. Взять ε, х ₀ – начальную точку поиска, p – направление поиска.

2. Найти начальный шаг α₁ = min{ η,|(y₁-y’)/y’₁|}, где η=1,2. y₁=y(x₁), y’₁ =y’(x₁,p)

3. Получить начальный интервал поиска [a,b] методом Свенна 4.

Основной этап:

1. Найти аппроксимирующий минимум, т.е. точку r по формулам:

r = a+α_r *p

α_r = α _a +γ*( α _b - α_a )

γ=(z-f’_a+W)/(f’_b-f’_a+2*W)

W=√z²-f’_a*f’_b

z=f’_a+f’_b+3*(f_a-f_b)/(b-a)

2. Проверить КОП если Y’r<=ε, то остановиться.X= a+ α_r *p Иначе сократить ТИЛ двумя способами:

Y’r<0 -> [r,b]

Y’r>0 -> [a,r]

Установить k=k+1 и вернуться на шаг 1.

Можно модифицировать алгоритм – ввести смещение точек на α₀ .

Текст программы:

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

/**********************************Strukturi*********************************/

struct Dot

{

double x1,x2;

};

struct Vek

{

double x1,x2,len;

};

Dot x;

Vek p;

/******************************Celevaya funkciya*****************************/

double f(double k)

{

return (x.x1+k*p.x1)*(x.x1+k*p.x1)+3*(x.x2+k*p.x2)*(x.x2+k*p.x2)+2*(x.x1+k*p.x1)*(x.x2+k*p.x2);

}

/**********************************Ee proizvodnaya***************************/

double df(double k)

{

return (2*(x.x1+k*p.x1)+2*(x.x2+k*p.x2))*p.x1+(6*(x.x2+k*p.x2)+2*(x.x1+k*p.x1))*p.x2;

}

/*********************************Metod Swenna*******************************/

void swann(double* a,double* b)

{

float h1,x1;

h1=0.01;

x1=h1;

if(f(0)<f(x1))

{

h1=-h1;

x1=h1;

}

do

{

h1=2*h1;

x1=x1+h1;

}

while(f(x1-h1)>f(x1));

*a=x1-1.5*h1;

*b=x1;

}

/***********************Metod Zolotogo Se4eniya 2****************************/

double zs_2(double a,double b)

{

double e,x1,x2;

int k=0;

e=0.001;

x1=a+0.618*fabs(b-a);

do

{

x2=a+b-x1;

if((x1<x2)&&(f(x1)<f(x2)))

b=x2;

if((x1<x2)&&(f(x1)>=f(x2)))

{

a=x1;

x1=x2;

}

if((x1>x2)&&(f(x1)<f(x2)))

a=x2;

if((x1>x2)&&(f(x1)>=f(x2)))

{

b=x1;

x1=x2;

}

k++;

}

while(k<5);

return (a+b)/2;

}

/*******************************Metod Devidona*******************************/

double david()

{

int k=1;

double e=0.000000001,dfun,a,b,n,h,r,z,w,a0;

dfun=df(0);

h=0.000001;

if(dfun>0)

{

p.x1=-p.x1;

p.x2=-p.x2;

dfun=df(0);

}

do

{

h=h+2*h;

}

while(dfun*df(h)<0);

a=h/3;

b=h;

do

{

z=df(a)+df(b)+3*(f(a)-f(b))/(b-a);

w=sqrt(z*z-df(a)*df(b));

r=(w-df(a)+z)/(2*w-df(a)+df(b));

r*=(b-a);

if(df(r)<=e) return r;

if(df(r)>0) b=r;

else a=r;

}

while(k<10);

return r;

}

/********************************Osnovnaya programma*************************/

void main()

{

double a,b,n,kmin;

Dot min;

clrscr();

cout<<"\n-Laboratornaya rabota 3. Issledovanie metodov lineynogo poiska.-";

cout<<"\n-------------------------Variant 1------------------------------";

cout<<"\n----------------------MZS -> Devidona---------------------------";

cout<<"\n-------------- Vipolnila: Nikitina T., gr. 2375 ----------------";

cout<<"\n\n\nCelevaya funkciya: x1^2+3*x2^2+2*x1*x2";

cout<<"\nVvedite koordinati na4al'noy to4ki poiska: "<<'\n';

cin>>x.x1>>x.x2;

cout<<"\nZadayte napravlenie poiska: "<<'\n';

cin>>p.x1>>p.x2;

p.len=sqrt(p.x1*p.x1+p.x2*p.x2);

p.x1=p.x1/p.len;

p.x2=p.x2/p.len;

p.len=1;

swann(&a,&b);

if(a>b)

{

n=a;

a=b;

b=n;

}

kmin=zs_2(a,b);

x.x1=x.x1+kmin*p.x1;

x.x2=x.x2+kmin*p.x2;

kmin=david();

min.x1=x.x1+kmin*p.x1;

min.x2=x.x2+kmin*p.x2;

cout<<"\nNaydenaya to4ka minimuma: ("<<min.x1<<" "<<min.x2<<")"<<'\n';

getch();

}

/*****************************************************************************/

Спецификация программы.

В программе приведены два метода поиска – это линейный метод поиска, модифицированный для функций нескольких переменных, метод Золотого сечения 2. Также приведен метод Дэвидона – кубической аппроксимации для функций нескольких переменных.

x - точка

p – направление поиска

k – колличество шагов

e - точность

a – левая граница отрезка

b – правая граница отрезка

len - норма

Результаты тестирования различных методов

Ниже приведены таблицы с результатами работы программы для двух функций, с различными стартовыми точками и точностями вычисления.

Точность:		0.0001		0.00001		0.000001
X0=(1,1)	К	X*	K	X*	K	X*
Метод Золотого сечения 2	22	(0.255816; -0.116276)	33	(-0.255813; -0.11628)	31	(0.255814; -0.116279)
Метод Дэвидона	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)	1	(0.255814; -0.116279)