6) Результаты тестирования программы

Функция f(x)	x1		Значение минимума x*	Вычисленное значение минимума	Погрешность	Количество шагов k Давидон+ОМН
(x1– 1)2+ (x2– 3)2+ 4(x3+ 5)2	(4; –1; 2)	0.0001	(1; 3; –5)	(1; 3; –5)	4.68845e-10; 4.11183e-09; 1.86662e-09	1
3(x1– 4)2+ 5(x2+ 3)2+ 7(2x3+ 1)2	(2; –2; –2)	0.0001	(4; –3; –0.5)	(4.00008;-3;-0.499996)	7.69387e-05; 9.15797e-10; 3.84691e-06	41+100

7) Ответы на контрольные вопросы

1) Ньютоновское направление поиска определяется как p^k=-(H^k)^-1 *∆Y^k, где ∆Y^k-градиент заданной функции в точке x^k. Множитель (H^k)^-1 способствует повороту направления к минимуму.

2) Можно попробовать разложить H^k=Ц^t_kD_kЦ_k и посмотреть на диагональные элементы матрицы D_k.

3) Для квадратичных функций оптимум вычисляется за одну итерацию из любой точки.

Для произвольной функции сходимость Ньютона обеспечивается при выполнении четырех условий:

- x0≡D(x^*)

-Должен существовать гессиан в каждой точке итерационного процесса.

-Гессиан должен быть положительно определен во всех точках предполагаемого процесса.

-Должен существовать обратный гессиан в любой точке предполагаемого процесса.

4) Если функция овражная, то 4 условия из предыдущего пункта практически невыполнимы.

Большие траты на вычисление вторых производных, а также на вычисление обратного гессиана. Эти проблемы решены в так называемых квазиньютоновских методах.

5) В геометрическом плане метод Ньютона – процесс последовательного отыскания аппроксимирующего минимума a_k+1,a_k+2…парабол, проведенных через точки k,k+1,k+2…до тех пор пока аппроксимирующий минимум a_k+n^* не совпадет с истинным минимумом a*.

6) F(x1,x2)=4*x1²+x2²-12*x2+4

Вычислим p1 = -(H1)^-1g^k

g¹ =(8*x1;2*x2-12)^t _|(3,4)=(24,-4)^t

H1=(8,0; 0,2) => H1^-1=(0.125, 0; 0, 0.5);

p1=-H1*g¹=(-3,2)^t

Перейдем в новую точку x2:

x2=x1 + alpha*p1;

alpha=1;

x2=(3,4)^t+(-3,2)^t=(0,6)^t

Если дальше считать p2, x3 и т.д. то процесс зацикливается ,так как p2,p3…=(0,0) и соответственно все вычисляемые далее точки одинаковы.

8) Выводы по работе

Проделав данную работу, мы изучили на практическом уровне метод Ньютона, а также его модификации.

В итоге получилась корректная программа, находящая минимум n-мерной заданной функции с помощью обобщенного метода Ньютона.

14