2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра

2.1. Построение согласованного фильтра

Найдем выражение для спектра заданного сигнала S(t).

В общем виде:

По условию случайная фаза сигнала равномерно распределена в интервале [-;]. В связи с этим для вычисления функции неопределенности подставим в формулу выражение для сигнала, в котором за ₀ примем среднее значение фазы равное нулю. Подставляя в данное выражение комплексную амплитуду сигнала с учетом приведенных допущений, получим:

Частотная характеристика согласованного фильтра для сигнала определяется выражением:

Подставляя сюда спектр сигнала, получим:

, B= C*A*τ0

Поскольку исходный импульс ограничен во времени [0;∞), то момент t₀ окончания импульса

будем определять следующим образом :

,a(t) – огибающая сигнала

Вычисления произведем в MathCad:

Для построения оптимального фильтра необходимо выполнение принципа практической реализуемости:

Значит, построить согласованный фильтр в данном случае нельзя, так как не выполняется принцип физической реализуемости.

2.2. Построение квазиоптимального фильтра

Построение оптимального фильтра не всегда возможно, поэтому строят фильтр, близкий по отношению сигнал/помеха к оптимальному, называемый квазиоптимальным.

Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с оптимальным равно:

Переходя от переменной к переменной, запишем выражение для передаточной функции квазиоптимального фильтра:

,

где ,(добротность),;- эквивалентное сопротивление контура при резонансе,- ёмкость контура;- резонансная частота контура,n – количество высокодобротных контуров в фильтре.

В нашем случае, количество контуров в квазиоптимальном фильтре n = 1. С учётом этого перепишем выражение для передаточной функции квазиоптимального фильтра.

; ;

Для спектра сигнала, переходя к получим:

.

Т.к. спектр сигнала вещественный, то

;

.

Преобразуем числитель в формуле для :

,

где n – количество контуров (в нашем случае 1).

Вычислим верхний предел y из соотношения

Значение верхнего предела y = 2.827*10⁷

Теперь найдём значение Q_max , при котором функция максимальна.

Сделаем замену Ω = w

Найдём (полуширину спектра сигнала) и(полуширину полосы пропускания фильтра), используя следующие выражения:

Таким образом, =tf = 4.271*10⁵ (1/с) , =ts =5.002*10⁵ (1/с).

Отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал/помеха на его входе через выражение:

,

где ,

a(t) – огибающая сигнала, b - изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом.

Используя MathCAD, находим b

b= 5.553