Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский государственный экологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КОНСПЕКТ УМФ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.09.2019

Размер:

806.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

6.3.Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений

Непосредственное решение системы конечно-разностных уравнений методами последовательного исключения при большом числе узлов оказывается слишком громоздким. Здесь более удобны итерационные методы решения, которые учитывают специальный вид таких систем и оказываются удобными для реализации на ЭВМ.

Рассмотрим один из наиболее простых методов – процесс усреднения Либмана для систем. Согласно методу Либмана вычисления ведутся следующим образом: выбрав начальные приближения , последовательные приближения для внутренних узлов сеточной области , определяем по формулам

для уравнения Пуассона и

для уравнения Лапласа, которые следуют из конечно-разностных уравнений.

Для получения начальных приближений можно указать два способа:

значения во внутренних узлах получают путем интерполирования, использующего известные граничные условия;
составляют систему конечно-разностных уравнений для сетки с более крупным шагом и решают ее методом исключения, а затем полученные значения интерполируют на узлы данной сетки.

Доказано, что для любого шага процесс Либмана сходится к точному решению независимо от выбора начальных значений.

Итерационный процесс будет сходиться значительно быстрее, если при вычислении последующих средних арифметических использовать не только значения предыдущего приближения, но и вновь найденные значения. Обычно итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков.

6.4.Метод конечных разностей для решения уравнений параболического типа

Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа. Задача заключается в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению

начальному условию

и граничным условиям

Если , то рассматривается краевая задача для неоднородного уравнения, если – краевая задача для однородного уравнения.

Сформулированная задача, в частности, является задачей теплопроводности, то есть задачей о распространении тепла в однородном стержне длины . Начальные условия задают распределение тепла в стержне в начальный момент времени . Граничные условия задают законы изменения температуры с течением времени в граничных точках стержня и . Функция определяет наличие внутри стержня тепловых источников. Если , то внутренние тепловые источники в стержне отсутствуют.

Для решения краевой задачи применим метод конечных разностей. Для этого в области построим два семейства параллельных прямых, проходящих через точки , на осях координат.

Значения неизвестной функции в узлах сетки обозначим через , ,

Для нахождения значений искомой функции на границах заданной области воспользуемся заданными краевыми условиями.

Из начальных условий

следует, что они выполняются для и всех , где :

или

, .

Из граничных условий

следует, что они выполняются для всех , где . Первое условие выполняется для , а второе – для :

или

как показано на рисунке.

Для нахождения значений искомой функции во внутренних узлах области воспользуемся заданным уравнением, в котором производную в каждом внутреннем узле приближенно заменим разностным отношением

а производную – одним на двух разностных отношений

или .

Тогда для дифференциального уравнения получим два типа конечно-разностных уравнений при , :

или

После умножения уравнений на получим

или

Обозначив , приводим эти уравнения при , к виду

или

Отметим, что для составления первого уравнения была использована явная схема узлов, а для второго уравнения – неявная схема.

При выборе числа  в уравнениях следует учитывать два обстоятельства:

погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна быть наименьшей;
разностное уравнение должно быть устойчивым.

Доказано, что уравнение с явной схемой узлов будет устойчивым при , а уравнение с неявной схемой узлов – при любом .

Наиболее удобный вид первое уравнение с явной схемой узлов имеет при :

, ,

и при :

, , .

Оценки погрешностей приближенных решений, полученных конечно-разностных уравнений в полосе , имеют вид

для явной схемы узлов при ,

для неявной схемы узлов,

где

Сравнивая полученные конечно-разностные соотношения для определения искомой функции и приведенные оценки погрешностей можно сделать следующий вывод:

первое уравнение с явной схемой узлов при имеет самый простой вид и позволяет вычислить все значения искомой функции, если известны значения на начальном уровне, соотношение между шагами интегрирования , погрешность применяемой формулы определяется величиной ;
первое уравнение с явной схемой узлов при более громоздкое, соотношение между шагами означает, что шаг по времени должен быть значительно меньше шага по переменной , что приводит к большему объему вычислений, однако эта формула имеет более высокую точность получаемых значений по сравнению с другими формулами;
вторая формула с неявной схемой узлов приводит к решению системы уравнений относительно неизвестных значений функции, дает меньшую точность, однако шаги интегрирования выбираются произвольно, независимо друг от друга.

Пример. Найти приближенное решение уравнения

удовлетворяющего условиям

, .

Решение. Будем использовать явную схему узлов с . Выберем по аргументу шаг . Так как , получаем по аргументу шаг . Разобъем промежуток на части точками деления , а промежуток точками Тогда