
- •6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •6.4. Тема 4. Численное интегрирование Задание 1
- •Задание 2
- •6.5. Тема 5. Численные методы решения обыкновенных
- •Задание 1
- •2.2. Практическая работа № 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение
- •2.3. Практическая работа № 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга
- •3. Контрольная работа № 1
- •4. Практические работы (4-5)
- •4.1. Практическая работа № 4. Численное интегрирование
- •4.2. Практическая работа № 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
2.3. Практическая работа № 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга
Для студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 4 часа практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» 2 часа.
План занятий:
Актуализация определения производной функции одной переменной и дифференциала, его геометрического смысла, понятия бесконечно малой функции
при
, сравнения бесконечно малых функций при , определения символа «о» малое и «О» большое, связь между ними, свойств символа «о» малое, определения верных цифр в записи приближенного значения и их свойств.
Актуализация формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Повторение полиномиальных формул численного дифференцирования, понятия порядка точности, порядков точности отдельных формул.
Повторение оценки погрешности формулы численного дифференцирования при неточно заданных табличных данных, причин начальной стабилизации разрядов в записи приближенных значений производной и последующей разработки.
Повторение первой и второй формулы Рунге, асимптотической оценки погрешности, метода повторного счета (правила Рунге).
Решение примеров.
Консультирование студентов по выполнению домашней работы.
Рассматриваемые примеры:
1.
Найти порядок точности и оценку
погрешности формулы
при условии,
что функция
имеет ограниченную производную третьего
порядка на
.
Решение:
В условиях рассматриваемого примера функцию можно разложить на указанном промежутке по формуле Тейлора. Запишем это разложение с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа и в форме Пеано:
при
.
Здесь точка
лежит между точками x
и
.
Используем эти разложения для вычисления
и
:
при ,
при
.
Здесь точка
лежит между точками
и
,
а точка
лежит между точками
и
.
Рассмотрим разность между точным и
приближенным значением производной.
Подставим в нее полученные выражения:
при
.
Таким образом,
исследуемая формула численного
дифференцирования имеет второй порядок
точности. Здесь использовано, что
при
,
а также то, что
при
.
Подставим в формулу для модуля разности между точным и приближенным значением производной полученные выражения
.
Здесь
это положительная постоянная, такая,
что
на
.
2.
Даны значения функции
в точках
(
).
На
существует ограниченная производная
функции второго порядка
.
Для вычисления приближенного значения
первой производной функции в точке
используется формула
.
Найти асимптотическую оценку погрешности этого приближенного значения.
Решение:
Наша формула
представляет
собой приближенную формулу вида
.
В самом деле, если положить
,
,
,
то формула
примет вид:
.
Формула
,
как известно, имеет
порядок точности
.
Выберем
,
и запишем
для рассматриваемой формулы асимптотическую
оценку погрешности:
.
3. Даны значения функции в точках ( ). На существует ограниченная производная функции второго порядка . Для вычисления приближенного значения первой производной функции в точке используется формула:
.
Вычисление по этой формуле производятся на разреженной сетке с шагом :
.
Используя метод Рунге-Ромберга, уточнить полученное приближенное значение производной.
Решение:
Как мы уже выяснили в предыдущем примере, наша формула представляет собой приближенную формулу вида , если положить , , причем формула , как известно, имеет порядок точности .
Выберем
,
и запишем
для рассматриваемого приближенного
значения производной
новое уточненное значение
,
получаемое по второй формуле Рунге:
.
Итак, новое приближенное значение производной , уточняющее старое приближенное значение , фактически вычисляется по формуле, порядок точности которой на 1 больше, чем у исходной формулы.