3.2.2. Проверка независимости и некоррелированности

элементов выборки

Независимость элементов выборки, как известно, должна рассматриваться на уровне их совместного распределения и, в общем случае, это достаточно сложная задача. В случае проверки работы датчика равномерных чисел, независимость может утверждаться, если вероятность попадания в заданный интервал не зависит от порядкового номера генерируемого элемента. Алгоритмы, реализующие этот способ проверки, достаточно просты.

Если ограничиться проверкой некоррелированности элементов генерируемой выборки, то для тестирования можно обратиться к «коэффициенту последовательной корреляции», измеряющему корреляцию между X_j+t и X_j членами выборки. Этот коэффициент определяется выражением [1].

где n – объем выборки. В [3] автор указывает на возможность резкого сокращения объема расчетов при больших объемах выборки.

Как указывалось, методы проверки датчиков не ограничиваются приведенными тестами. В [3] приводятся и другие виды тестов, помогающие оценить качество программ генерации случайных чисел. В частности, там описан так называемый «спектральный тест», о котором автор говорит, что его практическое применение к множеству различных датчиков ознаменовалось тем, что он забраковал все «плохие» и оставил «хорошие» датчики. Теория этого теста требует больше времени и места, чем отведено задачам тестирования датчиков в настоящем пособии. Поэтому изучающим рекомендуется самостоятельно ознакомиться со спектральным тестом по [3].

В качестве упражнения для закрепления материала рекомендуется.

1. Написать и отладить программу генерации псевдослучайных чисел для выбранного закона распределения (табл. 2).

Таблица 2

2. Сгенерировать выборку достаточно большого объема (n ≥ 1000), так как работа датчика должна оцениваться по генерации им совокупности, по объему возможно более близкой к генеральной.

3. Построить (используя пакет статических программ) эмпирическую функцию распределения, гистограмму и соответствующие теоретические законы.

4. Выбрать критерий согласия (λ – Колмогорова или – Пирсона) и протестировать датчик на соответствие генерируемому распределению и на независимость элементов выборки.

5. Сделать выводы.

3.3. Наиболее часто встречающиеся законы распределения

случайных величин и методы их генерации

Наиболее употребительные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики представлены в табл. 2.

Генерация случайных чисел, подчиненных равномерному, нормальному, экспоненциальному и биномиальному законам распределения уже была рассмотрена в разд. 3.1. В этом разделе приведем соотношения, позволяющие генерировать другие распределения, помещенные в табл. 2. Для удобства обозначим распределения с помощью латинских заглавных букв, указывая в скобках параметры закона. Для перечисленных законов это выглядит так : R(a,b) – равномерное распределение на интервале (a,b), N(m,σ) – нормальное распределение с МО m и с.к.о. σ; E(λ) – экспоненциальное распределение с параметром λ; B(n,p) – биномиальное распределение с параметром p и числом опытов n. Обозначения других распределений будем вводить по мере их описания.

Распределение Пуассона: P( a ). Рекомендуется для генерации применять метод Неймана (см. разд. 1.2) с использованием зависимости где F(x) – функция распределения закона Пуассона.

Гамма-распределение: Может интерпретироваться как сумма независимых случайных величин, подчиненных экспоненциальному распределению с параметром Соответственно генерация основана на соотношении

Распределение Эрланга – это гамма-распределение при α целом и положительном.

– распределение с n степенями свободы: (n). Это гамма-распределение при β=2 и полуцелом α =n/2, где n=2a – целое число. Соответственно при n четном, и при нечетном.

Распределение Стьюдента: T(n). По определению это распределение отношение квадрата нормированной нормальной величины к квадратному корню из величины, подчиненной – распределению. Следовательно, где n – число степеней свободы.

Распределение Вейбулла: W(b,c). Методом обращения функции распределения получим Если с = 1, то

Распределение Рэлея: RE(σ). Это распределение модуля отклонения от МО при круговом нормальном рассеивании. Параметр σ – с.к.о. исходного нормального распределения. Распределение Рэлея можно получить из распределения Вейбулла, положив с = 2 и . Следовательно,

Логнормальное распределение: L(m,σ). Это распределение случайной величины, логарифм которой подчинен нормальному закону. Соответственно, где параметры m и σ равны МО и с.к.о. нормального распределения величины ln L.

Распределение Симпсона: S(a, b). Согласно смыслу распределения (распределение суммы двух одинаковых равномерных величин) имеем

Геометрическое распределение: G(p). Это распределение числа независимых опытов до первого «успеха». Параметр p – вероятность «успеха» в одном опыте. Генерация использует соотношение Округление до целого числа производится в большую сторону.

Распределение Паскаля: C(m,p). Это распределение числа «неудач» до появления m-го «успеха» в серии независимых испытаний. Параметр p – вероятность «успеха» в одном опыте. Генерация опирается на геометрическое распределение