3.1.2 Генерация случайных чисел,

подчиненных заданному закону распределения

на основе равномерных случайных чисел

Рассмотрим наиболее распространенные методы генерации случайных чисел с заданным распределением на основе равномерных.

Метод обращения функции распределения. Пусть X случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность случайных чисел{y_i}, подчиненных закону распределения F(y).

Поставим задачу следующим образом: найти монотонное преобразование y = φ(x), которое переводит последовательность {x} в {y}:

откуда

(3.1)

Следовательно, преобразование , обратное требуемой функции распределения, переводит последовательность равномерных чисел {x} в последовательность чисел {y}, подчиненных закону F(y).

Пример 1. Пусть требуется сгенерировать случайные числа, подчиненные экспоненциальному распределению

Согласно (3.1), где , так как .

Рассмотренный метод эффективен, когда требуемая функция распределения задана явно и достаточно легко разрешима относительно своего аргумента.

Генерация нормально распределенных чисел. Неинтегрируемость функции нормального распределения не позволяет использовать приведенный метод. Поэтому для генерации нормально распределенных чисел применяется способ, основанный на центральной предельной теореме (ЦПТ). Согласно ЦПТ, распределение суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с увеличением числа слагаемых стремится к нормальному распределению. Если слагаемые равномерно распределены в интервале [0,1], то

Сумма равномерных случайных величин сходится к нормальному распределению достаточно быстро, и практика показала, что уже при n > 10 сходимость хорошая.

Однако непосредственно пользоваться приведенными соотношениями нельзя из-за зависимости параметров распределения Y от числа слагаемых и жесткой связи между m_y и σ²_y. Поэтому для нормальных случайных величин с заданными параметрами m_y и σ_y используется следующая двухэтапная процедура, основанная на устойчивости нормального распределения к линейному преобразованию.

В начале формируется последовательность чисел {z}, подчиненных нормированному нормальному распределению (т.е.нормальному распределению с параметрами m_z = 0; σ_z=1). Для этого выполняется операция

Как нетрудно видеть, m_z = 0; σ_z=1.

Затем последовательность {z} преобразуется в требуемую последовательность

{y} по формуле

Следует обратить внимание, что для получения одного числа последовательности {y} надо использовать 12 равномерных чисел.

Программа, реализующая описанную процедуру, в отличие от датчика равномерных чисел, может не содержаться в математическом обеспечении компьютера.

Генерация произвольно распределенных чисел. Пусть требуемое распределение

_____

задано произвольного вида плотностью f ( y ), или вероятностями P( Y = y_i ), i=1, k (где k – число возможных значений Y), или гистограммой

где а мода заданного распределения равна a.

Будем генерировать равномерные случайные числа и и проверять выполнение условия:

или

где i – номер генерации.

Если это условие выполнено, то x₁ сохраняем, в противном случае – отбрасываем. Последовательность {x₁} сохраняемых чисел, как нетрудно убедиться, имеет заданное распределение f ( y ).

Наглядно представить суть этого метода можно следующим образом. В прямоугольнике длиной, равной интервалу распределения, и высотой, равной его моде, генерируются случайные (равномерно распределенные) точки. Те из них, которые оказываются ниже нарисованной в этом же прямоугольнике плотности или гистограммы распределения, оставляются, остальные отбрасываются. Абсциссы оставленных точек образуют случайную выборку, подчиняемую заданному распределению. Отношение числа сохраненных пар к общему числу сгенерированных равно , а для получение выборки объема n с заданным распределением надо сгенерировать равномерных чисел. Это характеризует эффективность метода и временные затраты на его реализацию.

Генерация методом моделирования. Требуемое распределение можно в ряде случаев получать, моделируя механизм образования случайной величины.

Например, числа, подчиненные биномиальному распределению, можно получать следующим образом: генерируем N равномерных чисел в интервале [0,1] и определяем число чисел, меньших p.

Это будет число появлений события в серии из N опытов, вероятность появления которого в каждом опыте равна p. Оно является реализацией биномиально распределенной случайной величины с параметрами N, p. Для получения выборки объемом n надо сгенерировать n×N равномерных чисел.