7.1.2.Проверка гипотезы по критерию Вилкоксона

Проверка гипотезы H₀ об одинаковости эмпирических распределений величин X и Y по критерию знаков предполагает, что объемы выборок одинаковы. Однако если это не так, то использование критерия знаков приведет к отбрасыванию части данных из выборок большего объема. Это нежелательно, поскольку будет потеряна часть имеющейся статистической информации. Критерий Вилкоксона устраняет указанный недостаток критерия знаков.

В соответствии с критерием Вилкоксона для проверки гипотезы H₀ все x_i (i=1, 2, …, h₁) и y_j(j=1, 2, …, h₂) располагаются в ряд в порядке возрастания. Последовательность x_i и y_i, называемая общим вариационным рядом, представляет собой перестановку из n=h₁+h₂ элементов. Число таких перестановок равно n!. Если x_i и y_i являются элементами одной генеральной совокупности, то все n! перестановок x_i и y_i равновозможны и каждая из них может иметь место с вероятностью 1/n!.

Критерий Вилкоксона основан на том, что когда X и Y одинаково распределены, они в общем вариационном ряду должны перемешиваться достаточно равномерно. Если же налицо заметное нарушение этой равномерности (например, X в среднем существенно больше, чем Y), то гипотеза о равномерном распределении всех перестановок и , следовательно, о принадлежности выборок одной генеральной совокупности, представляются сомнительной и ее следует отбросить.

«Качество» перемешивания X и Y можно оценить путем подсчета так называемых инверсий.

Отбросим в общем вариационном ряду индексы и получим последовательность, состоящую из букв X и Y, например

Y Y X Y X Y Y X X . (7.2)

Если в этой последовательности X появляется позднее некоторого Y, то говорят, что имеется одна инверсия. В частности, последовательность (7.2) содержит 15 инверсий, так как первый X образует с двумя предшествующими Y две инверсии, второй X образует три инверсии и оба последних X по пять инверсий.

Число U инверсий данного вариационного ряда называют статистикой Вилкоксона.

Максимальным значением обладает последовательность вида YYYYYXXXX, когда все X больше Y_max. Соответственное минимальное значение U равно нулю, когда все X меньше Y_min. При отбрасывании индексов у элементов выборок количество возможных последовательностей будет равно не n!, а При этом вероятности получения каждой последовательности одинаковы и равны:

Соответственно вероятность того, что будет иметь место одна из m последовательностей, имеющих наибольшее число инверсий, равна

(7.3)

Полагая, как и выше, уровень значимости q и приравнивая его (7.3), находим m_q, т.е. число последовательностей, принимающих и (включая соответственно сами ), вероятности получения которых не превосходят величины 2q:

(7.4)

Теперь нетрудно найти числа U_q,соответствующие верхней и нижней границам области допустимых значений инверсий, т.е. такой области, выход за пределы которой может осуществляться лишь с малой вероятностью 2q:

(7.5)

Согласно одностороннему критерию Вилкоксона (7.4) нулевая гипотеза отвергается, если При этом уровень критерия значимости равен q.

При двустороннем критерии (7.5) гипотеза отвергается не только тогда, когда или, что то же самое, количество обратных инверсий В этом случае уровень значимости критерия удваивается и равен 2q.

При больших h₁ и h₂ непосредственно подсчет числа инверсий неудобен. Вместо подсчета инверсий все члены общего вариационного ряда перенумеровывают в порядке возрастания их величины. Если наименьшей из всех X имеет порядковый номер r₁, то количество предшествующих Y равно r₁-1 и поэтому наименьшему X соответствует точно r₁-1 инверсий. Следующему за наименьшим X соответствует порядковый номер r₂, которому соответствует r₂-1 инверсий и т.д. В итоге получаем

(7.6)

Для удобства вычислений обычно используются работой [7],в которой приведена функция распределения U, вычисленная в предположении, что гипотеза H₀ верна. Если окажется, что то нулевую гипотезу следует отвергнуть. При работе с материалом [7, табл.10] при обозначения X и Y следует поменять местами.

Примечание. В случае x_i = y_k при подсчете U следует приписывать x_i и y_k порядковый номер r+1/2.