5.5. Контрольные вопросы

1. В чем заключается метод проверки гипотез по отношению функций правдоподобия?

2. Каков смысл функций правдоподобия?

3. Что показывает величина отношения правдоподобия?

4. Что такое ошибки первого и второго рода?

5. Покажите на графике ошибки первого и второго рода для нормального распределения при проверке гипотезы о математическом ожидании.

6. В чем сущность метода последовательного анализа?

7. Ответьте на вопрос 5 для метода последовательного анализа.

8. Дайте сравнительную оценку метода отношения функций правдоподобия и метода последовательного анализа.

9. Укажите связь между границами областей R₁, R₂ и R₃ вероятностями ошибок первого и второго рода и объемом случайной выборки.

10. Почему вероятности ошибок первого и второго рода зависят от объема выборки?

6. Проверка статистических гипотез по критериям значимости (согласия)

6.1. Критерий значимости (согласия)

В данном разделе речь идет о проверке статистических гипотез с множеством альтернатив.

Критерии согласованности гипотетических и экспериментальных параметров и законов распределения обычно называют критериями значимости в задачах проверки гипотез о параметрах распределения и критериями согласия в задачах проверки гипотез о законах распределения.

Соответственно критерий значимости представляет собой некоторую меру близости между гипотетическими значением параметра распределения и его оценкой, а критерий согласия – меру близости между гипотетическими и эмпирическим распределениями.

Идея проверки статистических гипотез по этим критериям состоит в следующем. Пусть - скалярная мера близости между гипотетической и эмпирической характеристиками распределения. Здесь - вектор гипотетических параметров; - случайная выборка объема n. В силу случайности выборки ,ξ представляет сбой одномерную случайную величину, значение которой меняется от выборки к выборке. Множество возможных значений ξ можно разбить на две области: R₁, в которой ξ принимает значения с достаточно высокой вероятностью, и R₂ – область значений ξ , которые весьма маловероятны. Обозначим и , где q – мало. Если распределение f(ξ) известно, то и и при заданном q возможно найти границы областей R₁ и R₂. Если значение ξ, найденное по результатам случайной выборки приняло значение в области R₁, то результат достаточно вероятен и нет оснований говорить о расхождении гипотетической и эмпирической характеристик. Если ξ приняло значение в области R₂, то это значит, что произошло событие явно маловероятное, если наша гипотеза верна. Более вероятным представляется, что мы неверно оценили вероятность попадания ξ в область R₂, причиной чему послужило ошибочное определение распределения f(ξ) из-за неверной гипотезы, так как это распределение неразрывно связано с ней. Следовательно, попадание ξ в область R₂ говорит о том, что гипотеза плохо согласуется с выборочными данными, от нее следует либо отказаться, либо произвести дополнительные уточняющие эксперименты. Область R₂ в этой связи называют критической (R₂=R_кр).

Критическая область R₂ по существу определяет, какие расхождения между гипотетической и экспериментальной характеристиками мы уславливаемся считать значимыми, а какие нет. Область R₂ при известном распределении f(ξ) полностью определяется вероятностью q, которую поэтому принято называть уровнем значимости.

Таким образом, процесс проверки статистических гипотез по критериям значимости (критериям согласия) сводится к следующему:

выбирается критерий, представляющий собой некоторую меру близости между гипотетической и эмпирической характеристиками распределения;

критерий выбирается так, чтобы его распределение было известно;

назначается уровень значимости q и определяется критическая область R ;

- по данным выборки вычисляется значение критерия ;

- если - гипотеза принимается, если - гипотеза отбрасывается.

Пользуясь описанной процедурой, следует иметь в виду, что в силу случайности ξ может принять значения в области R и при правильной гипотезе. Тогда, отбросив ее, мы совершим ошибку первого рода, вероятность которой равна уровню значимости ( α=q ).

Рассмотрим применение описанной процедуры проверки статистических гипотез на конкретных примерах.