5.3. Проверка гипотезы о параметре экспоненциального
распределения
Пусть x1, x2, … , xт представляют независимые выборочные значения, принадлежащие экспоненциальному распределению
(5.19)
Проверяется простая гипотеза о том, что λ=λ0 при альтернативе
λ=λ1 (λ1<λ0). Логарифм отношения функций правдоподобия ф этом случае будет
(5.20)
При с=1 правило выбора решения формулируется
следующим образом. Принимается, что
параметр распределения равен
,
если
(5.21)
и принимается, что он равен
,
если выполняется неравенство,
противоположное (5.21).
Таким образом, процедура проверки гипотезы о параметре экспоненциального распределения сводится к сравнению среднего арифметического выборочных значений с порогом k:
(5.22)
Найдем вероятности ошибок первого и
второго рода. Известно, что сумма n
независимых экспоненциально распределенных
величин с параметром
имеет χ2-распределение с 2n
степенями свободы.
Учитывая необходимую нормировку,
находим, что случайная величина
распределяется
по закону χ2 с 2n
степенями свободы, поэтому
При последовательном анализе (при с=1) принимаются гипотезы λ0, если
(5.25)
и , если
(5.26)
Испытания продолжаются, если не выполняется ни одно из неравенств (5.27) и (5.25), т.е.
(5.27)
Вывод неравенств (5.25) – (5.27) изложен в работе [5].
5.4. Точность проверки
При проверке гипотез мы, в значительной мере, произвольно выбираем метод проверки. В изложенном подходе за основу было принято отношение функций правдоподобия. Этот метод предполагает, что из двух гипотез лучше с данными эксперимента согласуется та, при которой вероятность реализации наблюдавшейся случайной выборки больше. Это предположение представляется достаточно разумным, однако оно отвечает лишь случаю с = 1. Если использовать другие значения с, то мы по существу переходим к другой постановке задачи: лучшей считается та гипотеза, при которой вероятность появления наблюдавшейся выборки не менее, чем в с раз больше, нежели при альтернативной. В простейшем случае альтернатива предпочтительнее. Естественно, что разные подходы будут давать и различные результаты решения задачи проверки.
Разумно считать лучшим методом тот, который обеспечивает наименьшую вероятность ошибок или наилучшее (с точки зрения решающего задачу) сочетание величин ошибок первого и второго рода. Последнее, как было показано выше, достигается подбором порогового уровня с. Таким образом, в задаче проверки гипотез на первое место выходит достижение желаемого или допустимого минимума вероятностей ошибок α иβ.
При известном законе распределения критерия эта задача решается выбором границы, делящей области R1 и R 2 в методе отношения функции правдоподобия и областей R1, R 2 и R 3 в методе последовательного анализа. Однако далеко не всегда это распределение известно. В приведенных выше примерах (5.1), (5.2), (5.3) вычисления α и β производились просто потому, что были известны законы распределения наблюдаемой величины и, кроме того, они были сами по себе достаточно просты и хорошо изучены.
В практической деятельности часто приходится иметь дело со случайными величинами, чьи законы распределения, даже будучи известны, не позволяют так просто, как в наших примерах, находить распределения критерия и границы областей.
В этих случаях можно, на основе аналогии с разобранными примерами, в качестве критерия проверки гипотез о параметрах, использовать среднее выборочное. При этом остается открытым вопрос о распределении критерия. Если выборка достаточно большого объема, то на основании предельных теорем (центральная предельная теорема, теорема Ляпунова и т.п.) можно полагать это распределение нормальным и, соответственно этому допущению, назначить границы областей и вычислить вероятности α иβ. Если же объем выборки невелик и
пользоваться предельными теоремами нельзя, то для оценки точности процедур проверки, основанных на предельном распределении критерия, можно воспользоваться приемом, описанным в разд. 5.1, и оценить распределение критерия на базе компьютерной генерации выборок при гипотетическом и альтернативном значении параметра. Изучающему предлагается самостоятельно разработать алгоритм выполнения этой процедуры.
Сказанное выше полностью относится и к методу последовательного анализа.