23.Основні властивості інтеграла.

∫^b_a (f(x)+ の(x)dx=∫_a^bf(x)dx± ∫_a^bの(x)dx

∫_a^bkf(x)dx=k∫_a^bf(x)dx, k=const

∫_a^b ƒ(x) dx=∫_a^cf(x)dx+∫_a^b ƒ(x) dx

[a,b] [a,c] [c,b]

∫_a^bkf(kx+n)dx=1:k * ∫_ka+n^kb+nf(kx+n)dx

k,n=const

24.Вектори у просторі. Дії над векторами. Розкладання вектора на складові.

Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос.

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають.

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо ця умова не виконується, не компланарними).

2 . Додавання векторів Правило трикутника

П равило паралелограма

Сумою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Правило паралелепіпеда

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Віднімання векторів

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число.

Добутком на число k називають вектор, який має довжину і співнапрямлений з , якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0.

Скалярний добуток векторів- число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Розкладання вектора на складові

Будь-який вектор можна розкласти на складові, наприклад, паралельно осі ох та oy. Для цього треба опустити перпендикуляри з кінця вектора на осі (рис.5.5).

Тоді складові вектора:

;

;

25.Паралельність прямої і площини. Паралельність площин.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею. На рисунку: ; ; ; a і b — мимобіжні; . Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні. Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні. Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними. Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок). Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва). Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче). Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.