Построение.

1) Построим прямоугольный ΔАОМ по катету АМ = и АОМ = В.

2) Построим окружность радиуса ОА, продолжим сторону АМ до пересечения с окружностью, полученный отрезок АС = b. Отметим любую точку, лежащую на окружности, получим вершину В.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. АВС=АОМ как вписанный, следовательно, АВС=В.

ΔАВС – искомый.

Исследование. Возможны два случая:

• если точку В выбираем по одну сторону от АС (в полуплоскости, содержащую точку О), то получаем множество треугольников, удовлетворяющих заданным условиям;

• если точку В выбираем по другую сторону от АС, то получаем треугольники, не удовлетворяющие условию, так как у них АВС= 180⁰ - В; искомых треугольников нет.

Задание 18. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

А нализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны: А и С и отрезок длиной а+b+с. На продолжении стороны АС в обоих направлениях отложим отрезки DA = АВ и СЕ = ВС, проведем отрезки DВ и ВС, получим треугольник DВE, в котором DE = а+b+с. Треугольники DAВ и ВСЕ – равнобедренные, опустим высоты (серединные перпендикуляры) АК и СН (это позволит определить вершины А и С при построении). D = А, Е = С (по свойству внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению треугольника DВE по стороне и двум прилежащим углам.

Построение.

1) Строим треугольник ВDЕ: DЕ = а+ b+ c, ВDЕ = А, ВЕD = С.

2) Проводим серединные перпендикуляры АК к ВD и СН к ВE. Получаем вершины А и С.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство.

1) При построении получаем:

1. Треугольник ВАD: ВК=КD, АК перпендикулярен ВD, следовательно, треугольники АКВ = АКD (по катетам), следовательно AD=ВA.

2. Треугольник ВCЕ: ВН=НE, СН перпендикулярен ВE, следовательно, треугольники BCН = BEН (по катетам), следовательно ВC=ВE.

2) DE = DA+AС+СE = CA+AС+BC = а+ b+ c,

Значит, треугольник АВС – искомый.

Исследование. Построение выполнимо если С + А < 180⁰.

Задание 19. Постройте треугольник по высотам h_а и h_b и медиане m_с.

Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны: АЕ =h_а и ВН= h_b и СМ = m_с.

ВСА =ВСМ + АСМ.

МК АС. МК= ВН= h_b. Получаем прямоугольный ΔСКМ, который можно построить по катету и гипотенузе СМ = m_с.

L М BС. LМ = AE = h_a. Получим ΔСLМ – прямоугольный, его можно построить по катету и гипотенузе СМ = m_с.

Построение.

1) Построим прямоугольный ΔСКМ с катетом КМ = ВН = h_b и гипотенузой СМ = m_с.

2) Построим прямоугольный ΔСLМ с катетом LМ = AE = h_a и гипотенузой СМ = m_с, причем так, чтобы точки К и L лежали по разные стороны от прямой СМ.

3) Продолжим отрезок КМ за точку M так, чтобы отрезок КN = 2 КМ = ВН и проведем через точку N прямую, параллельную КС. Продолжим CL до пересечения с этой прямой. Получим вершину В.

4) Проведем прямую ВМ и найдем пересечение ее с прямой СК. получим вершину А.

Т реугольник АВС – искомый.

Доказательство.

СМ = m_с по построению. КN = ВН = h_b. АКМ = МNB (по катету и острому углу), отсюда АМ=МВ. Из точки А опустим высоту на сторону ВС, она параллельна МL. МL – средняя линия в треугольнике АВЕ,

и АЕ = 2МL = h_a.

ΔАВС – искомый.

Исследование. Если h_b > m_с , то решений нет.

Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения

8