П остроение.

1) Строим треугольник АCD по двум сторонам и углу между ними: АD = а+c, АC = b, САD = А.

2) К отрезку CD проводим серединный перпендикуляр ВН до пересечения со стороной АD, получаем вершину В.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. ΔВНС = Δ ВHD (по катетам), следовательно, ВС=ВD.

Т.к. АD = а+c, то АВ+ВС= АD = а+c. ΔАВС – искомый.

Исследование. Построение выполнимо, если работает неравенство треугольника.

З адание 14. Постройте треугольник АВС по углу А, стороне b и высоте, проведенной к этой стороне.

Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны угол А, сторона b и расстояние h от точки В до стороны АС. Проведем прямую параллельно АС так, чтобы расстояние между ними равнялось h, она пройдет через точку В.

Построение.

1) Построим А. На одной из сторон отложим отрезок АС= b.

2) Построим перпендикуляры АН₁=h и СН₂=h к прямой АC, проведем прямую Н₁Н₂. Прямая Н₁Н₂ пересечет вторую сторону А, получим вершину В.

Т реугольник АВС – искомый.

Доказательство. Н₁Н₂ ││АС по построению. Проведем высоту треугольника ВН.

ВН = АН₁ =h .

ΔАВС – искомый.

Исследование. Возможны три ситуации:

• если h = b tgA, то треугольник АВС прямоугольный;

• если h < b tgA, то треугольник АВС остроугольный;

• если h > b tgA, то треугольник АВС тупоугольный.

Задание 15. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов а+b.

Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны: С =90⁰, гипотенуза с и отрезок а+b, равный сумме катетов. Продолжим АС так, чтобы отрезок AD = а+b. Получим треугольник АВD – равнобедренный, в котором В = D = С = 45⁰ по свойству внешнего угла треугольника. Треугольник АВD можно построить по двум сторонам и углу: АD = а+b, АВ =с, АDВ = 45⁰. П остроив перпендикуляр ВС, получим вершину С.

Построение.

1) Строим треугольник АВD по двум сторонам и углу: АD = b+а, АВ = с и D = 45⁰.

2) Из точки В опускаем перпендикуляр на сторону АD, находим вершину С.

Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. По построению ΔВDС – прямоугольный с углом 45⁰, следовательно, он равнобедренный, т.е. ВС=DC. Значит, треугольник АВС – искомый.

Исследование. Построение выполнимо, если не нарушено неравенство треугольника.

Задание 16. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу.

А нализ. Пусть прямоугольный треугольник АВС – искомый. Известны: С =90⁰, гипотенуза с и расстояние h от точки С до стороны АВ. Опишем окружность около ΔАВC. АВ – диаметр. Проведем прямую параллельно АВ так, чтобы расстояние между ними равнялось h, она пройдет через С.

Построение.

1) Построим окружность с диаметром АВ = с.

2) Восстановим перпендикуляры АН₁=h и ВН₂=h в точках А и В прямой АВ, проведем прямую Н₁Н₂. Прямая Н₁Н₂ пересечет окружность, получим вершину С.

3) Соединим точку С с точками А и В. Треугольник АВС – искомый.

Доказательство. Треугольник АВС по построению прямоугольный с гипотенузой с.

Н₁Н₂││АВ по построению. Проведем высоту треугольника СН. СН = АН₁=h. ΔАВС – искомый.

Исследование. Возможны три случая:

• если h = , то треугольник АВС равнобедренный, единственный, лежащий по одну сторону от гипотенузы (конечно, можно проводить построение и в другую полуплоскость относительно диаметра окружности, но мы построим треугольник, полученный из первого осевой симметрией; следовательно, в этом случае мы говорим о единственном решении);

• если h < ,то получим два равных треугольника АВС₁ и АВС₂, лежащих по одну сторону от гипотенузы (в этом случае мы получаем два решения, так как треугольники равны, но в них АС₁=ВС_2, а ВС₁=АС₂, то есть один треугольник нельзя получить из другого тождественным преобразованием).

• если h > ,то решений нет.

Задание 17. Постройте треугольник по основанию и углу при вершине.

Анализ. Пусть треугольник АВС – искомый. Известны:  В и сторона b.

О пишем окружность вокруг ΔАВC. АС – хорда, АВС – вписанный. АОС = 2АВС как центральный. Опустим перпендикуляр ОМ, получим ΔАОМ – прямоугольный, который можно построить по катету ( ) и углу (В).