Сигнал из суммы синусоид (разной частоты)
Зададим теперь сигнал как сумму синусоид
разной частоты:
.
Изобразим этот сигнал на графике (Рис.
7 сверху), а также выполним для него
преобразование Фурье (Рис. 7 снизу).
Рис. 7. Сигнал из суммы синусоид разной частоты (сверху)
и спектр этого сигнала (снизу).
На спектре (Рис. 7 снизу) очень четко видны «столбики», которые в точности соответствуют частотам, при которых задавались синусоиды для нашего сигнала.
Амплитудная модуляция
Зададим теперь сигнал как произведение
синусоид разной частоты:
.
Изобразим этот сигнал на графике (Рис.
8 сверху), а также выполним для него
преобразование Фурье (Рис. 8 снизу).
Рис. 8. Сигнал из произведения синусоид разной частоты (сверху)
и спектр этого сигнала (снизу).
Таким образом, произведение сигналов во временной области дает их свертку в частотной области.
Частотная модуляция
Для демонстрации частотной модуляции воспользуемся функцией MATLAB, которая способна генерировать сигналы с линейно нарастающими частотами. Изобразим такой сигнал, а также его спектр после преобразования Фурье на Рис. 9.
Рис. 9. Сигнал с линейно нарастающей частотой (сверху)
и спектр этого сигнала (снизу).
Вообще говоря, спектр от всего сигнала оказался не очень-то информативным и наглядным. Более приятную картинку можно получить путем построения спектрограммы. Для ее нахождения сигнал разбивается на сегменты и для каждого в отдельности сегмента вычисляется преобразование Фурье. Набор таких спектров и образует спектрограмму. Постоим ее для нашего сигнала (Рис. 10).
Рис. 10. Спектрограмма для линейно-нарастающего сигнала.
Действительно, картинка стала нагляднее. Белая полоса на Рис. 10говорит нам о линейно нарастающей (начиная с нуля) во времени частоте нашего сигнала.
Фазовая модуляция
Покажем фазовую модуляцию. Пусть
передаваемым сигналом будет сигнал
,
а «кодированным» сигналом будет сигнал
,
гдеx- переменная изменения фазы
«кодированного» сигнала. Изобразим
такой сигнал, а также его спектр после
преобразования Фурье наРис. 11.
Рис. 11. Сигнал для примера фазовой модуляции (сверху)
и спектр этого сигнала (снизу).
В данном случае спектр (Рис. 11 снизу) сигнала выглядит куда лучше, чем аналогичный график в случае частотной модуляции (Рис. 9 снизу). Для полноты картины можно еще построить спектрограмму этого сигнала (Рис. 12) и убедиться, что с течением времени частота этого сигнала не меняется и составляет 100 Гц (это же значение по оси частот принимает самый высокий «столбик» спектра наРис. 11 снизу).
Рис. 12. Спектрограмма для примера фазовой модуляции.
Приложение: исходный код matlab
% Для чистоты наших экспериментов обнулим рабочую область и окно кода.
clear all; clc;
%--------------------------------------------------------------------
% Исследуем спектр меандра.
%--------------------------------------------------------------------
t1 = 0:2*pi/99:2*pi;
Meander1 = square(t1, 50); % Меандр с одним периодом.
t2 = 0:10*pi/99:10*pi;
Meander2 = square(t2, 50); % Меандр с пятью периодами.
% Изобразим полученные сигналы.
figure;
subplot(2,1,1);
bar(Meander1, 'k');
subplot(2,1,2);
bar(Meander2, 'k');
% Выполним преобразование Фурье для обоих меандров.
Fourier_Transformation1 = fft(Meander1);
Fourier_Transformation2 = fft(Meander2);
% Представим результат на графиках спектров для сравнения.
figure;
subplot(2,1,1);
bar(abs(Fourier_Transformation1), 'k');
subplot(2,1,2);
bar(abs(Fourier_Transformation2), 'k');
clear Fourier_Transformation1 Fourier_Transformation2 t1 t2;
%--------------------------------------------------------------------
% Исследуем спектр треугольного импульса.
%--------------------------------------------------------------------
t1 = 0:2*pi/99:2*pi;
DeltaPulse1 = sawtooth(t1, 1);
DeltaPulse2 = sawtooth(t1, 0.5);
% Изобразим полученные сигналы.
figure;
subplot(2,1,1);
plot(DeltaPulse1, 'k');
subplot(2,1,2);
plot(DeltaPulse2, 'k');
% Выполним преобразование Фурье для обоих треугольных импульсов.
Fourier_Transformation1 = fft(DeltaPulse1);
Fourier_Transformation2 = fft(DeltaPulse2);
% Представим результат на графиках спектров для сравнения.
figure;
subplot(2,1,1);
bar(abs(Fourier_Transformation1), 'k');
subplot(2,1,2);
bar(abs(Fourier_Transformation2), 'k');
% Возьмем несколько периодов сигнала.
t2 = 0:10*pi/99:10*pi;
DeltaPulse3 = sawtooth(t2, 1);
figure;
subplot(2,1,1);
plot(DeltaPulse3, 'k');
% Выполним преобразование Фурье для обоих импульсов.
Fourier_Transformation1 = fft(DeltaPulse3);
subplot(2,1,2);
bar(abs(Fourier_Transformation1), 'k');
% Тот же сигнал, но уже со сдвигом.
DeltaPulse4 = sawtooth(t2, 0.5);
figure;
subplot(2,1,1);
plot(DeltaPulse4, 'k');
subplot(2,1,2);
% Выполним преобразование Фурье для обоих импульсов.
Fourier_Transformation1 = fft(DeltaPulse4);
subplot(2,1,2);
bar(abs(Fourier_Transformation1), 'k');
%--------------------------------------------------------------------
% Сигнал из суммы синусоид разной частоты.
%--------------------------------------------------------------------
t = 0:2*pi/99:2*pi;
Signal = 3*sin(t) + 5*sin(10*t);
figure;
subplot(2,1,1);
plot(Signal, 'k');
subplot(2,1,2);
% Спектр сигнала из суммы синусоид.
bar(abs(fft(Signal)), 'k');
%--------------------------------------------------------------------
% Амплитудная модуляция.
%--------------------------------------------------------------------
Amplitude_Modulation = sin(t) .* sin(10*t);
figure;
subplot(2,1,1);
plot(Amplitude_Modulation, 'k');
subplot(2,1,2);
% Спектр сигнала из произведения синусоид
bar(abs(fft(Amplitude_Modulation)), 'k');
%--------------------------------------------------------------------
% Частотная модуляция.
%--------------------------------------------------------------------
t = 0:0.01:1; %сигнал линейно нарастающей частоты
Frequency_Modulation = chirp(t, 0, 1, 10);
figure;
subplot(2,1,1);
plot(Frequency_Modulation, 'k');
subplot(2,1,2);
% Спектр сигнала из произведения синусоид
bar(abs(fft(Frequency_Modulation)), 'k');
% Построим спектрограмму линейно-нарастающего сигнала.
t = 0:0.1:100;
Frequency_Modulation = chirp(t, 0, 100, 1);
specgram(Frequency_Modulation,128,1E3,128,120);
colormap gray;
%--------------------------------------------------------------------
% Фазовая модуляция.
%--------------------------------------------------------------------
t = 0:2*pi/999:2*pi;
Signal = sin(t); % Передаваемый сигнал.
PM = sin(100*t + pi*x); % "Кодированный сигнал".
figure;
subplot(2,1,1);
plot(PM, 'k');
subplot(2,1,2);
% Спектр сигнала из произведения синусоид
bar(abs(fft(PM)), 'k');
% Построим спектрограмму.
figure;
specgram(PM,128,1E3,128,120);
colormap gray;