5

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОНЕЦКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНИЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра ЕСИС

КУРСОВА РОБОТА

Пояснювальна записка до курсової роботи по дисципліні

"Математичні методи і моделі"

Варіант№7

Виконав

студент гр. ЕСіМ-10_______________________________Коваленко Є.І.

(підпис, дата)

Перевірив

Ст..викл. каф. ЕСИС ________________ _______________ Наумов О.Є.

(підпис, дата)

Нормоконтролер __________________________ ________ Наумов О.Є.

(підпис, дата)

Донецьк, 2012р.

Завдання 1

1) З використанням програмного блока Mathcad ітераційним методом. На підставі законів Кірхгофа і Ома розрахувати струми у гілках електричного лінійного кола.

2) Розписати "в ручну" перших два кроки методом простих ітерацій;

3) перевірити результати розрахунку за пунктом 1 за допомогою методу звернення матриці коефіцієнтів системи рівнянь, складеної за законами Кірхгофа.

Вхідні данні:

,

Завдання 2

1) З використанням програмного блоку Mathcad ітераційним методом на підставі законів Кірхгофа і Ома розрахувати струми у гілках і напруги на реактивних елементах схеми електричного кола в залежності від часу;

2) Розписати "в ручну" перших 2 кроки методом Ейлера-Коші;

3)Побудувати в Mathcad графіки перехідного процесу струму і напруги (згідно завдання пункт 1)

Вхідні дані:

Прийняти .

Розрахунок виконати методом Ейлера-Коші.

Реферат

Пояснювальна записка до курсової роботи:

стор.-20, рис.-3, джерела-2, додатків -3.

Метою даної курсової роботи є надбання навичок розв’язання електротехнічних задач із застосуванням численних методів.

Об'єктом дослідження є усталений режим лінійного електричного кола та перехідний процес у колі з ємнісним опором при його ввімкненні на постійну напругу.

При виконанні обчислень були використанні : метод Зейделя - для розрахунку СЛАУ, та метод Ейлера-Коші для розрахунку перехідного процесу , що виникає в електричному колі внаслідок ввімкнення вимикача.

Галузь застосування: дані програми можуть застосовуватися у різноманітних галузях науки, зокрема в електротехніці.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ, ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС, СТРУМ, ГІЛКА , МЕТОД ЕЙЛЕРА-КОШІ, СЛАУ, ЧИСЛЕННИЙ МЕТОД.

ЗМІСТ

Y

ЗМІСТ 4

ВСТУП 5

1. МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ 6

1.1 Опис математичної моделі. 6

Схема для розрахунку задачі 1 8

1.2 Рішення задачі 8

1.3 Програмний блок 10

1.4 Перевірка результатів обчислення за допомогою функції lsolve 11

1.5 Розрахунок похибки: 11

2 РОЗРАХУНОК ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ 12

2.1 Опис математичної моделі метода Ейлера-Коші 12

Схема до розрахунку задачі 2 12

2.2 Система рівнянь за законами Кірхгофа: 13

2.3 Перші дві ітерації виконуємо вручну: 13

2.4 Програмний блок 14

ВИСНОВКИ 15

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 16

ДОДАТОК А 17

Перелік зауважень нормоконтролера 17

ДОДАТОК Б 18

ВСТУП

В сучасних умовах спостерігається безупинне зростання кількості промислових підприємств та ускладнення технологічного процесу. Дуже важливим у інженерній практиці використання ПЕОМ для вирішення задач математики.

Для використання усіх обчислень використовується ПЕОМ, це значно зменшує витрати часу на розв’язування задач, та полегшує аналіз вихідних значень.

Чисельні методи дають точніший результат при більшому числі ітерацій і більшій точності

Для рішення постановленої курсовій роботі задачі використовується один із відомих сучасних пакетів прикладних програм - Mathcad.

1. Моделювання лінійних електричних кіл постійного струму

1.1 Опис математичної моделі.

Метою розрахунку є визначення струмів у всіх гілках схем (рис 1.1).

Послідовність розрахунку лінійного електричного кола з використанням законів Кірхгофа наступна:

а) для кожної гілки вводять позначення протікаючого через неї струму і стрілками на схемі указують умовні позитивні напрями цих струмів;

б) для n-1 вузлів складають рівняння на підставі першого закону Кірхгофа; для одного з вузлів таке рівняння не складають, оскільки воно є слідством вже написаних рівнянь;

в) беруть взаємно незалежні контури кола (це означає, що в кожному новому контурі хоча б в одній з гілок струм не входить в попередньо розглянуті контури), в кожному з цих контурів вибирають умовний позитивний напрям обходу і позначають його на схемі;

г) для вибраних контурів складають рівняння по другому закону Кірхгофа з урахуванням напряму обходу; при правильному виборі контурів їх число повинно дорівнювати m - n + 1; при цьому загальна кількість рівнянь повинно складати m, тобто по числу невідомих величин;

д) вирішують отриману систему з m рівнянь одним з методів обчислювальної математики.

Якщо розраховане значення струму в даній гілці є позитивним, то це означає, що дійсний напрям струму співпадає з вибраним раніше і навпаки.

В методі Зейделя уточнене значення х₁ зразу ж використовується для обчислення х₂, далі нові значення х₁ і х₂ використовуються для обчислення х₃ і т. д.

Будь-яке (k+1)-е наближення в методі Зейделя будується за наступними формулами:

(1.1)

де k = 0, 1, 2, …, n.

Ітерації закінчуються, коли із заданою точністю одержано однакові значення невідомих у двох ітераціях підряд.

Умови збіжності ітераційного процесу подібні умовам для простої ітерації, тобто ітераційний процес і його збіжність залежать від величини елементів матриці наступним чином: якщо найбільша сума модулів елементів рядків або найбільша сума модулів елементів стовпців менше одиниці, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв'язку незалежно від вибору початкового наближення.

Отже, умови збіжності можна записати так:

(i = 1, 2, …, n) або (j = 1, 2, …, n). (1.2)

Треба привести СЛАР до виду, який придатний для ітерацій. Для виконання умов збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб значення елементів матриці при були невеликими з абсолютної величини. Це рівносильно тому, що якщо для СЛАР модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів (без врахування вільних членів), то ітераційні процеси для цієї системи збігаються.

Виконуються наступні дії:

а) в заданій системі виділяються рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більші за суму модулів інших коефіцієнтів рівняння. Кожне виділене рівняння записується в таку строку нової СЛАР, щоб найбільший за модулем коефіцієнт був діагональним.

б) інші рівняння нової еквівалентної системи одержуються шляхом складання лінійних незалежних між собою комбінацій.

Для перевірки цього твердження еквівалентна система приводиться до нормального виду і перевіряється, чи задовольняється хоч одна з умов збіжності.

При цьому використовується такий спосіб: записуються коефіцієнти при невідомих x₁, x₂, x₃ у відповідних рівняннях системи як m·x, де m – число, що близьке до коефіцієнта при відповідному невідомому і на яке легко розділити коефіцієнти при невідомих і вільні члени.

Схема для розрахунку задачі 1

Рисунок 1.1 - Електричне коло постійного струму