Старооскольский технологический институт

(филиал) Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский технический университет МИСиС»

Кафедра АиСУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

по курсу «АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ»

Вариант - 1

Выполнила: Ботвиньева В.Ю.

ИС-07-1в.

Проверила: Ковтун Н.И.

Старый Оскол, 2012

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель работы

1. Рассмотреть постановку задачи и принцип работы метода динамического программирования.

2. Рассмотреть примеры решения задач на основе метода динамического программирования.

Методика выполнения работы

Будем использовать следующие обозначения:

S_k –состояние в конце k-го шага (или, другими словами, состояние в начале k+1-го шага);

U_k – любое возможное (допустимое) решение на k-м шаге;

U_k^* – оптимальное решение на k-м шаге;

Z_k – критерий эффективности на k-м шаге;

Е_k – суммарный критерий эффективности на всех шагах, начиная с k-го (т.е. на шагах от k-го до N-го);

Е_k^* – оптимальный (в рассматриваемых примерах – максимальный) суммарный критерий эффективности на всех шагах, начиная с k-го.

Найти оптимальное распределение средств между п предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств х. Вложения кратны Δх, а функции f(x) заданы таблично.

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f1(x)	5	9	12	14	15	18	20	24	27
f2(x)	7	9	11	13	16	19	21	22	25
f3(x)	6	10	13	15	16	18	21	22	25

s₀=9, n=3, Δх=1.

Задача удовлетворяет свойству отсутствия последействия. Состояние по окончании каждого шага (т.е. имеющаяся сумма средств, подлежащая распределению, S_k) зависит только от суммы, имевшейся в начале шага (S_k-1) и от решения, принятого на данном шаге (т.е. от выделенной на данном шаге денежной суммы U_k): S_k = S_k-1– U_k. Критерий эффективности на каждом шаге (т.е. прибыль предприятия Z_k) зависит только от решения на данном шаге, т.е. от выделенной предприятию суммы U_k, и не зависит от того, сколько средств выделено другим предприятиям.

Задача удовлетворяет также свойству аддитивности критерия эффективности: общий критерий эффективности (прибыль фирмы) равен сумме критериев эффективности на отдельных шагах (прибылей предприятий).

Задача решается в два цикла.

Цикл условной оптимизации

Шаг 3 (выделение средств предприятию П3)

S2	U3*	Е3*
0	0	0
1	1	6
2	2	10
3	3	13
4	4	15
5	5	16
6	6	18
7	7	21
8	8	22
9	9	25

Шаг 2 (выделение средств предприятиям П2 и П3)

S1	U2	Z2	S2	Е3*	Е2	U2*	Е2*
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0 1	0 7	1 0	6 0	6 7	1	7
2	0 1 2	0 7 9	2 1 0	10 6 0	10 13 0	1	13
3	0 1 2 3	0 7 9 11	3 2 1 0	13 10 6 0	13 17 15 11	1	17
4	0 1 2 3 4	0 7 9 11 13	4 3 2 1 0	15 13 10 6 0	15 20 19 17 13	1	20
5	0 1 2 3 4 5	0 7 9 11 13 16	5 4 3 2 1 0	16 15 13 10 6 0	16 22 22 21 19 16		22
6	0 1 2 3 4 5 6	0 7 9 11 13 16 19	6 5 4 3 2 1 0	18 16 15 13 10 6 0	18 23 24 24 23 22 19		24
7	0 1 2 3 4 5 6 7	0 7 9 11 13 16 19 21	7 6 5 4 3 2 1 0	21 18 16 15 13 10 6 0	21 25 25 26 26 26 25 21		26
8	0 1 2 3 4 5 6 7 8	0 7 9 11 13 16 19 21 22	8 7 6 5 4 3 2 1 0	22 21 18 16 15 13 10 6 0	22 28 27 27 28 28 29 27 22	6	29
9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 7 9 11 13 16 19 21 22 25	9 8 7 6 5 4 3 2 1 0	25 22 21 18 16 15 13 10 6 0	25 29 30 29 29 31 32 31 28 25	6	32

Шаг 1 (выделение средств предприятиям П1, П2, П3 )

Начальная сумма денежных средств (состояние S₀) известна: S₀=9. требуется определить, сколько средств необходимо выделить предприятию П1, чтобы обеспечить максимальную суммарную прибыль предприятий П1, П2, П3, т.е. всех предприятий. Так как начальное состояние на этом шаге известно точно (в отличие от других шагов), будет найдено безусловно оптимальное решение.

S0	U1	Z1	S1	Е2*	Е1	U1*	Е1*
9	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 5 9 12 14 15 18 20 24 27	9 8 7 6 5 4 3 2 1 0	32 29 26 24 22 20 17 13 7 0	32 34 35 36 26 25 35 33 31 27	3	36

Цикл безусловной оптимизации

Для первого шага (выделение средств предприятию П1) получено безусловно оптимальное решение: U₁^*=3 млн. ден.ед. Для предприятий П2, П3 остается 6 млн. ден.ед. Таким образом, состояние в начале второго шага S₁= 6. Из табл. для этого состояния определяется оптимальное решение: U₂^*=3 (предприятию П2 выделяется 3 млн. ден.ед.). Для предприятий П3 и П4 остается 20 млн. ден.ед. (состояние в начале третьего шага). Из табл. для этого состояния определяется оптимальное решение: U₃^*=3

Таким образом, оптимальное решение задачи следующее. Предприятию П1 следует выделить 3 млн. ден.ед., предприятию П2 – также 3 млн. ден.ед., предприятию П3 – выделить 3 млн. ден.ед. Общая прибыль составит 36 млн. ден.ед., в том числе прибыль предприятия П1 –12 млн. ден.ед., П2 – 11 млн. ден.ед., П3 – 13 млн. ден.ед.