1.2. Расширенный фильтр Калмана.

В случае параметрической неопределенности модели сигнала образуем расширенный вектор состояния , включив в него ветор неизвестных параметров q. Уравнение динамической системы представим в виде:

(1)

Считаем неизвестные параметры постоянными во времени, дополним модель динамической системы (1) уравнением q_k+1= q_k. Тогда для расширенного вектора состояния имеем уравнение состояния:

X_k+1=f_k[X_k, U_k] + W_k (2)

Это уравнение нелинейно. В общем случае решение задачи нелинейной фильтрации достаточно сложно. Часто приемлемое приближенное решение можно получить, используя так называемые линеаризованные фильтры. В лабораторной работе используется расширенный фильтр Калмана (фильтр, в котором линеаризация на каждом шаге производится в точке текущей оценки). Уравнения этого фильтра отличаются от уравнений (8) предыдущего пункта помимо очередной замены обозначений (Х вместо Y) следующими:

1) уравнение экстраполяции оценки заменяется на уравнение

2) в уравнении экстраполяции ковариационной матрицы ошибки оценки матрица Ф_к-1 заменяется на матрицу , где

1.3. Алгоритм адаптивной фильтрации.

Пусть на интервале времени от Т₁ до Т₂ появляется импульсное входное воздействие dU_k, неучтенное в модели сигнала. Моменты Т₁ и Т₂ и форма dU_k считаются неизвестными. В этом случае в стандартном фильтре Калмана при t_k > T₁ будет наблюдаться ярко выраженный эффект расходимости. Обеспечить устойчивость процедуры фильтрации можно применив так называемые адаптивные методы. В настоящей лабораторной работе применен адаптивный фильтр, в котором обнаружение расходимости производится на основе сравнения теоретической C_k = HP'_kH^T + s_k² и фактической дисперсий невязок измерений . При этом фактическая дисперсия аппроксимируется выборочной оценкой по М последним измерениям, включая Z_k. В нормальном режиме работы фильтра проверяется соотношение . Фильтр переводится в режим устранения расходимости, как только обнаруживается невыполнение этого неравенства. После этого выключается механизм подавления расходимости, использующий для загрубления модели сигнала эффект старения данных. Однако здесь на каждом шаге оценивания параметр старения S_k подбирается адаптивно:

В режиме устранения расходимости проверяется неравенство . Как только это неравенство перестает выполняться, считается, что расходимость устранена, после чего отключается механизм подавления расходимости и фильтр продолжает работу в нормальном режиме.