4. Интегрирование «по частям»
Идея этого метода
основана на формуле производной
произведения двух функций:
[1] и применяется чаще всего тогда, когда
подынтегральная функция может быть
представлена в виде произведения пары
хотя бы одной из следующих функций:
и их вариаций.
Итак, если
подынтегральную функцию
можно представить в виде произведения
,
то сочетание
или
можно принять за дифференциал
или
.
Тогда решение интеграла получается по
формуле:
Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.
Пример
7.
.
Рецепт.
Альтернатива выбора функций-сомножителей
здесь небогатая: либо
и
,
либо
.
Попробуем пойти первым путём
Вариант 1.
.
Повторно применяем этот же метод:
и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый:
с каждым
новым шагом показатель степени при
аргументе растёт
и не видно конца этим манипуляциям.
Очевидна и причина такого тупика -
неудачный первоначальный выбор функции
.
Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».
А теперь пойдём альтернативным путём:
Вариант 2:
.
Тогда
.
Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.
Пример
8.
.
Рецепт.
Применим метод «по частям»:
Сопоставив начало
и конец этой цепочки, получаем решение
.
Рациональные дроби
Известно [1], что
дробь может называться «рациональной»,
если её числитель и знаменатель ─ целые
числа. С этой точки зрения излагаемый
дальше метод относится к интегралам
вида:
,
где
,
а
─ полиномы порядка
и
,
соответственно.
С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:
.
В этом случае полином числителя
«столбиком» делят на полином знаменателя,
выделяя тем самым «целую» часть
подынтегральной дроби и её «остаток».
Тогда исходный интеграл можно представить
в виде суммы двух интегралов:
,
где
и
─
полиномы соответствующего порядка того
же типа, что и исходные полиномы. Первый
интеграл – сумма табличных интегралов.
Ко второму интегралу применяют обычно
метод «неопределённых коэффициентов»,
суть которого излагается дальше;
.
Здесь сразу берётся интеграл указанным
выше методом.
Метод «неопределённых коэффициентов»
Известно [1], что любой полином го порядка (n≥2) можно представить в виде произведения:
(коэффициента при
старшей степени полинома);двучленов типа
;и трёхчленов типа
где
- действительные числа, (причём
),
действительный корень полинома
и
- кратности соответствующих сомножителей,
при условии, что
.
По отношению к полиному знаменателя
это означает, что подынтегральную
функцию можно представить в виде суммы
дробей типа
и
(
и
-
некие числовые коэффициенты) с
соответствующими кратностями (повторами
корней). Тогда нахождение интеграла от
рациональной дроби сведётся к взятию
табличного интеграла типа
и интеграла типа
,
способ решения которого для
=1
рассмотрен в
Примере
2. Остаётся только освоить методику
разложения рациональной дроби на
соответствующие слагаемые.
Рассмотрим несколько примеров на эту тему.
Пример
9.
.
Рецепт. Здесь порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, поэтому делим «столбиком» числитель на знаменатель:
Таким образом,
,
где
=
=
.
Здесь
действительные
числа, которые подбираются следующим
образом:
сложим дроби:
;затем приравняем коэффициенты при соответствующих степенях аргумента и получим систему двух линейных уравнений для
и
:
;
тогда решение этой
системы:
Отсюда интеграл
.
Таким образом,
общее решение можно представить в
следующем виде
.
Пример
10.
.
Рецепт.
1. Здесь порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя, поэтому не нужно выделять целую часть.
2. В предположении, что данный интеграл можно решить методом неопределённых коэффициентов, попробуем разложить полином знаменателя на множители.
Согласно теореме
Виета, свободный член любого полинома
равен произведению всех
его корней на множитель
,
где
–
порядок полинома. Здесь
,
тогда этот множитель равен единице.
Попробуем подобрать хотя бы один целый
корень, возьмём, например,
.
При
значение полинома: 1-2+4-6+3=0, т.е.
– один из корней. Теперь поделим исходный
полином «столбиком» (см. выше) на двучлен
и получим полином третьего порядка
.
Сгруппируем соответствующие слагаемые:
.
Таким образом, подынтегральная функция
должна иметь вид
.
В знаменателе имеется двучлен
кратности 2 и «усечённый» трёхчлен
с
отрицательным дискриминантом. В этом
случае подынтегральную функцию можно
представить в виде суммы дробей:
(здесь, как и раньше
коэффициенты
- действительные числа).
Обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что порядок полиномов в числителях этих дробей ровно на единицу меньше порядка полиномов в их знаменателях!
В результате
сложения этих дробей получаем дробь:
,
числитель которой должен в точности
совпадать с числителем дроби исходной
подынтегральной функции. Это позволяет
сформировать систему теперь уже четырёх
линейных
уравнений для этих коэффициентов:
.
Нетрудно показать,
что решение этой системы:
и исходный интеграл равен сумме трёх
интегралов:
.
Первые два – табличные и их результат:
.
Решение последнего интеграла:
.
Итак, ответ:
Обратите внимание на то, что громоздкий интеграл был сведён к комбинации табличных интегралов (решение последнего интеграла – см. Пример 3).
Пример
11.
.
Рецепт.
Покажем, что этот интеграл можно
достаточно просто решить тем же методом
«неопределённых коэффициентов». Для
этого домножим числитель и знаменатель
на
.
Подынтегральная функция примет вид
.
Опытный взгляд сразу увидит в числителе
дифференциал функции
.
Отсюда возникает желание ввести замену:
.
Далее подставляем эти выражения в
подынтегральную функцию, и интеграл
приобретает следующий вид:
и готов к приложению к нему метода
«неопределённых коэффициентов»:
.
Знакомым уже способом получаем систему
уравнений:
.
Из решения системы следует:
и
.
После обратной подстановки
получаем окончательный результат:
.
Это очень полезный результат, поэтому есть смысл записать его в дополнительную таблицу неопределённых интегралов (см. табл.2).
Легко показать,
что аналогичный интеграл
=
.
С учётом формул
и
получаем ещё один вариант решения этого
интеграла:
=
+С.
И этот результат рекомендуем внести в
ту же дополнительную таблицу.
N.B. Несколько позже мы рассмотрим решение этого же интеграла другим способом.