Непрерывные функции
.pdf1
ЛЕКЦИЯ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Непрерывность функции в точке
Односторонняя непрерывность справа и слева, связь с непрерывностью в точке
Классификация точек разрыва. Примеры
Свойства непрерывных функций:
теорема о локальной ограниченности;
теорема об устойчивости знака непрерывной функции в точке
Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность многочлена и дробно-рациональной функции
Теорема о непрерывности сложной функции
Непрерывность элементарных функций
6. 1 Непрерывность функции в точке
Определение. Функция f : X R называется непрерывной в точке x0
(x0– предельная точка X), если существует
|
lim f x f x0 . |
|
|
|
(1) |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
Обратим внимание на то, что условиями непрерывности функции в точке |
||||||
x0 (при записи соотношения (1)) являются: |
|
|
|
|
||
1) существование конечного значения f x0 ; |
|
|
|
|
||
2) существование конечного |
lim |
f x . |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
f x f x0 f |
|
|
|
|
Так как lim x x0 , то |
lim |
|
x |
|
. Следовательно, |
|
lim |
|
|||||
x x0 |
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
непрерывные в точке функции (и только они) перестановочны с операцией предельного перехода (т. е. можно переходить к пределу под знаком функции):
|
f x f |
|
|
|
|
lim |
|
lim |
x |
|
|
|
. |
||||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
Определение. В изолированной точке x0 любая функция f непрерывна.
1
2
Определение. Функция f x , не являющаяся непрерывной в точке x0 ,
предельной для X , называется разрывной в ней. Точку x0 называют точкой разрыва функции f x , причем функция f x может быть не определена в
этой точке.
Подставляя сюда определения предела по Коши или по Гейне, получим:
Определение непрерывности функции в точке по Коши: функция |
f не- |
||||||||||||||||
прерывна |
в |
точке |
|
|
|
|
x0 , |
|
|
если |
|||||||
0 , x0 0 x X ( |
|
x x0 |
|
|
|
f (x) f (x0) |
|
). |
|
|
f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение непрерывности функции в точке по Гейне: функция |
не- |
||||||||||||||||
прерывна в точке x |
, если x |
|
|
|
x |
lim |
f x |
f x |
|
|
|
||||||
X lim x |
. |
|
|
||||||||||||||
0 |
n |
|
|
n n |
0 |
n |
n |
0 |
|
|
|
||||||
6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в |
|
|
|||||||||||||||
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из связи существования предела и односторонних пределов получаем: |
|
||||||||||||||||
Определение. Функция |
f : X R называется |
непрерывной |
слева |
(справа) в точке x0 X , предельной для множества X , если
f x0 0 f x0 f x0 0 f x0 .
Критерий непрерывности функции в точке через односторонние пределы
Функция f : X R непрерывна в точке x0 X , предельной для множе-
ства X , тогда и только тогда, |
когда она непрерывна в этой точке и слева и |
|
справа, то есть |
0 f x0 f x0 0 . |
|
f x0 |
(2) |
|
Положим |
y f x0 : f x0 x f x0 . |
|
x: x x0, |
|
Величину x называют приращением аргумента, а y – приращением
функции. Так как x x0 x, то условие непрерывности (1) можно переписать
в виде lim |
f x |
x |
f x |
. Отсюда lim |
f x |
x f x |
0 или |
x 0 |
|
0 |
0 |
x 0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
lim f x0 0 |
|
(3) |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
Равенство (3) называется разностным условием непрерывности функции в точке и служит практическим приемом доказательства непрерывности функции в точке.
2
3
Пример. Покажем, что функция f x x3 непрерывна в любой точке
x0 R.
Имеем lim f x
x 0 0
lim x0 x 3 x0 |
3 lim x0 x x0 x0 x 2 x0 x0 x x0 |
2 |
|||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
lim x x0 x 2 x0 x0 x x0 |
2 0. |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Значит, функция f x x3 непрерывна во всякой точке x |
0 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3 Классификация точек разрыва. Примеры |
|
|
|
|
|
||
Пусть функция |
f : X R, x0 X – предельная точка для множества X . |
||||||
Определение. Если существует lim f x A, |
A f x0 |
( f x0 |
|||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
может вообще не существовать), то точка x0 называется точкой устранимого
разрыва.
Замечание. В случае устранимого разрыва
f x0 0 f x0 0 f x0 . Указанный разрыв можно устранить, если допол-
нить разрывную функцию до непрерывности следующим образом:
|
f x , |
x x |
0 |
, |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
f x |
, |
x x |
|
|
. |
||
|
f x |
0 |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
Пример. Функция y |
sin x |
имеет в точке x 0 устранимый разрыв, так |
||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
как y 0 y 0 1: |
lim |
sin x |
1. Здесь y 0 не существует. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если положить y 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x 0, |
|
, то получим непрерывную функцию y |
|
|||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Определение. Если существуют конечные односторонние пре- |
|||||||||
делы |
f x0 0 , |
f x0 0 , не равные между собой f x0 0 f x0 0 (зна- |
||||||||
чение |
f x0 может также не существовать), то точка x0 |
называется точкой раз- |
||||||||
рыва 1 - го рода. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Число |
|
f x0 |
0 f x0 0 |
|
называется скачком функции f в точке x0 . |
||||
|
|
|
||||||||
|
Во всех остальных случаях точку разрыва x0 будем называть точкой раз- |
|||||||||
рыва 2 - го рода. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечание. В случае разрыва 2 - го рода хотя бы один из односторон- |
|||||||||
них пределов бесконечен или вообще не существует. |
|
|||||||||
|
Если односторонние пределы |
f x0 0 или f x0 |
0 бесконечны, то |
|||||||
точку x0 иногда называют полюсом. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1, |
x 0, |
у |
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
x 0, |
1 |
||
|
Примеры. 1. y sgnx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
|
x 0. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|||
Здесь точка x0 |
- точка разрыва первого ро- |
|
||||||||
да: y 0 1, |
y 0 1. Заметим, что |
|
скачок функции в этой точке равен y 0 y 0 1 1 2.
2. Функция y sin 1 имеет в точке x 0 разрыв второго рода, так как x
lim sin 1 не существует (см. пример ).
x 0 x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3. Исследуем поведение функции |
y 2x 1. |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
2x 1 |
|
x 1 0, |
|
|
|
0. |
||||||||
x 1 |
|||||||||||||||
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
2x 1 |
|
x 1 0, |
|
|
|
. |
||||||||
x 1 |
|||||||||||||||
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
x 1
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
20 |
|
|
|
|
|||||
|
|
lim 2x 1 |
1. Поэтому прямая y 1 является горизон- |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
тальной асимптотой графика функции (см. ) Построим график функции: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
||
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
, y 1 0 0, y 1 0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
х |
4. Исследуем поведение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
f x E x x k, |
k x k 1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f k f k 0 k, |
f k 0 k 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки x k Z – точки разрыва перво- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х го рода. Функция непрерывна справа в |
||||
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точках x k . |
|
6.4 Свойства непрерывных функций
ТЕОРЕМА 1 (о локальной ограниченности)
Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окре-
стности этой точки.
Пусть f : R, x0 .
ТЕОРЕМА 2 (об устойчивости знака непрерывной функции в точке)
5
6
|
Если |
функция |
f |
непрерывна |
в точке |
|
x0 |
|
|
и |
f x0 0, |
то x0 |
||||||||||||
x x0 sgn f x sgn f x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В самом |
деле, |
так |
как |
f x непрерывна |
в |
|
|
точке x0 , |
то |
существует |
|||||||||||||
lim |
f x f x |
. Тогда x |
|
x x |
|
|
|
f x |
|
|
|
|
f x0 |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
При этом |
f x |
f x0 , если |
f x |
0, и f |
x |
f x0 , если |
|
|
|
f x 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
Отсюда вытекает, |
что, |
если функция |
f |
непрерывна |
в |
точке x0 и |
|||||||||||||||||
f x0 0, то она сохраняет знак в некоторой окрестности точки x0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
Следствие. Пусть |
f , g: X R, |
x0 X , |
f |
и g |
непрерывны в точке x0 |
||||||||||||||||||
и f x0 g x0 . Тогда x0 : x x0 |
|
f x g x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Доказательство. Рассмотрим h x : f x g x , |
h x непрерывна в точ- |
||||||||||||||||||||||
ке |
x0 , |
h x0 0 |
x0 : |
x x0 h x 0 f x g x |
x x0 .
6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
ТЕОРЕМА 3. Сумма и произведение непрерывных функций непрерыв-
ны: если функции f , g: R непрерывны в точке x0 X , то функции f g
и f g также непрерывны в этой точке. |
|
|
Доказательство. |
|
|
1. |
Пусть x0 – изолированная точка. Тогда f g и |
f g непрерывны |
по определению.
2.Пусть x0 – предельная точка множества Х. Тогда
lim f x g x |
lim |
f x lim |
g x f x0 g x0 ; |
x x0 |
x x0 |
x x0 |
g x f x0 g x0 . |
lim f x g x |
lim |
f x lim |
|
x x0 |
x x0 |
x x0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
ТЕОРЕМА 4. Функция |
1 |
непрерывна в точке x |
, |
если функция |
f |
не- |
||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
f |
0 |
|
|
|
|
|
||
прерывна в точке x0 и |
f x0 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Следствие. Функция |
g |
|
непрерывна в точке |
x , |
если функции |
f |
и g |
|||||
f |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
непрерывны в точке x0 |
и f x0 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
6.6 Теорема о непрерывности сложной функции |
|
|
|
|
|
|||||||
ТЕОРЕМА 5 . Пусть f : , g: , |
функция f |
непрерывна в |
||||||||||
точке x0 , f x0 : y0 |
и функция g непрерывна в точке |
y0 . |
Тогда сложная |
|||||||||
функция h x g f x непрерывна в точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
В самом деле, |
|
|
|
lim f x f x0 y0, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim g y g y0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
g f x g y0 . |
|||
но тогда согласно теореме о пределе композиции функций |
lim |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
Из (1) вытекает, что lim |
g f x g f x0 . Теорема доказана. |
|
|
|||||||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следствие. Если |
lim f x y0, а g y непрерывна в точке y0 , то |
|
|
|||||||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim g f x g y0 g lim f |
x . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
Итак, для непрерывной функции переход к пределу можно выполнять под знаком функции.
6.7 Непрерывность элементарных функций
Перечислим основные элементарные функции: x |
(x 0, R), ax |
|
(a 0, a 1), loga x |
(a 0, a 1), sin x, cosx, tgx, ctgx, |
arcsinx, arccosx, |
arctgx, arcctgx. |
|
|
7
8
Определение. Функции, полученные из основных элементарных функ-
ций с помощью конечного числа арифметических операций и операций супер-
позиции, называются элементарными.
|
logtg x |
x 2x |
|
Пример. Функция f x e |
|
, x 0,1 является элементар- |
|
arcsin x |
ной.
Среди элементарных функций обычно выделяются:
целая рациональная функция или многочлен
Pn x a0xn a1xn 1 an 1x an,
здесь n – степень многочлена, n N; a0, a1, , an R – коэффициенты
многочлена; дробно-рациональная функция, являющаяся отношением двух многочленов
P x f x Qn x .
m
Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют так назы-
ваемый класс рациональных функций.
К элементарным функциям относят также те иррациональные функции, которые представляют суперпозицию рациональных функций и степенных функций с дробно-рациональными показателями.
Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций. Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, на-
зываются трансцендентными функциями.
Примеры: а) |
f x 4x5 3x2 x 6 – целая рациональная функция, |
|||||||||
или многочлен пятой степени; |
||||||||||
б) |
f x |
|
3x4 x2 5 |
– дробно-рациональная функция; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x3 2x 3 |
|||||||
|
f x |
x2 |
|
|
|
|
|
– иррациональная функция; |
||
в) |
|
|
x |
|||||||
3 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
||||||
г) |
f x cosx, |
|
y x sin x, u x ex – трансцендентные функции. |
ТЕОРЕМА. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Доказательства вытекает из определения и теорем 3 - 5 (Свойства непрерывных функций).
8
9
Пример. Покажем, что функция f x sinxнепрерывна в любой точке
x0 R.
Требуется доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 0 x( |
|
x x0 |
|
|
|
sinx sinx0 |
|
). |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Лемма. x R |
|
sin x |
|
|
|
x |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
M
x
A
O
sin x: ордината точки M .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1. Пусть x |
0, |
|
|
|
|
. S |
OAM |
|
|
1 sin x S |
сектораOAM |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
0, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2. Пусть x |
|
|
|
|
,0 |
|
x |
|
0, |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sinx |
|
sinx sin x x |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Итак, |
|
sin x |
|
|
|
x |
|
, |
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
\ 0 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3. Ясно, что sin 0 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , то есть sinx x,
2
4. Пусть |
|
x |
|
|
|
. В этом случае |
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
x |
|
. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x x R.
Лемма доказана.
Возьмем любое положительное 0. Оценим модуль разности
sinx sinx0
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 sin |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
x x |
0 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
x R: |
x x0 |
|
|
sin x sin x0 |
. Таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, функция y sin x |
|
непрерывна в каждой точке x0 R . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 2. |
y sin x, |
|
x |
|
|
|
, |
|
|
. Функция |
y sin x непрерывна и строго |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
возрастает на |
|
|
|
|
|
|
. Поэтому существует обратная функция, которую обо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
значают |
x arcsin y |
, |
определенная на |
sin |
|
|
|
,sin |
|
|
|
1,1 , возрастающая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
на 1,1 от |
|
до |
|
и непрерывная на этом отрезке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
y f x g x , |
f x 0, f и g непрерывны на множестве Χ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y eln f x g x |
непрерывна по теореме 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В частности, y x , |
|
R, непрерывна x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 4. Так как для непрерывной функции переход к пределу можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполнять под знаком функции, то |
|
|
|
g x lim |
ln f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
f x lim g x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim f x g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
ln |
lim |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
eg x ln f x ex x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lim g x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10