![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.12. Дифференциальные уравнения Для замечаний
- •1.12. Дифференциальные уравнения
- •1.12.1. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений
- •1.12.2. Общий и частный интегралы. Общее и частное решения
- •1.12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка
- •1.12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка
- •1.12.5. Однородные уравнения
- •1.12.6. Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией
- •1.12.7. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.12.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.12.9. Уравнение Бернулли
- •1.12.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •1.12.11. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •1.12.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •Метод вариации постоянных
- •1.12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
1.12.5. Однородные уравнения
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если для любых x, y и t0 выполняется равенство
f(tx,ty)=tmf(x,y).
Если
функции M(x,y) и N(x,y) однородные одной и
той же степени m, то дифференциальное
уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется
однородным. Оно приводится к виду
и решается подстановкой
или y=ux,
.
Тогда
или
.
Следовательно,
или
,
где с0
- произвольная постоянная.
Пример. (x2+y2)dx+xydy=0. Данное уравнение является однородным, так как функции M(x,y)= x2+y2, N(x,y)=xy однородные степени m=2. Сделаем замену y=ux, dy=udx+xdu. Тогда уравнение перепишется так: (x2+u2x2)dx+x2u(udx+xdu)=0 или (1+2u2)dx+uxdu=0.
Разделяя переменные, получим
.
Так
как у нас
,
то
.
Рассмотрим
более общее уравнение, чем
,
а именно
. (2.5)
Его можно решить подстановкой. Тогда
,
,
,
где с0 - произвольная постоянная.
Пример. y'=Axn+Bym (2.6)
Это
уравнение есть частный случай (2.5), если
. (2.7)
Уравнение (2.6) при n=-2 и m=2 (условие (2.7) выполнено) имеет вид
,
и
его решение может быть найдено по формуле
решения уравнения (2.5), где f(u)=A+Bu2,
n=-2+1=-1.
Полученное уравнение есть частный случай уравнения Рикатти
y'= By2+R(x),
которое
интегрируется в квадратурах только в
исключительных случаях. Мы доказали,
что при R(x)=Ax-2
уравнение Рикатти решается в квадратурах.
Отметим, что при R(x)=const уравнение Рикатти
является уравнением с разделяющимися
переменными. Если R(x)=Ax
и
(k - целое), то подстановка
приводит уравнение Рикатти к виду
.
Последовательно применяя эту подстановку, можно исходное уравнение свести к случаю 0=0 (R(x)=const).
Если
же n1,
то подстановка
приводит уравнение к виду
.
Применяя эту подстановку необходимое число раз, мы сведем уравнение Рикатти к случаю 0=0. Во всех других случаях уравнение Рикатти не решается в квадратурах.
Пример. Решить уравнение xydy-(x4+y2)dx=0. Имеем
Это уравнение есть частный случай уравнения (2.5) при n=2, f(u)=(1+u2)/u.
1.12.6. Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией
Общий вид таких уравнений следующий
. (3.1)
Рассмотрим несколько случаев
Если с=с1=0, то имеем уравнение с однородной функцией и его можно решить методом, изложенным ранее. Если , то уравнение преобразуется в уравнение
, которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Пусть с, с10. Положим
x=x1+h; y=y1+k, (3.2)
где
h и k - постоянные. Учитывая, что dx=dx1
и dy=dy1;
, можно записать
Подберем
h и k так, чтобы
(3.3)
Тогда уравнение (3.1) переходит в уравнение
,
которое решается подстановкой y1=x1u.
Изложенный метод не подходит, если определитель системы (3.3)
=0.
Рассмотрим
этот случай. Обозначив
уравнение (3.1) запишется в виде
.
Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z=ax+by.
Приведенные
операции геометрически означают
следующее: числитель и знаменатель в
функции
можно рассматривать как левые части
уравнений прямых в плоскости, которые
либо пересекаются (определитель не
равен нулю:
0),
либо параллельны (определитель равен
нулю). Подстановка (2.3) геометрически
означает параллельный перенос системы
координат, что позволяет перенести
начало координат в точку пересечения
прямых.
Пример. (2x-y+3)dx+(x+y-1)dy=0
Запишем уравнение в форме (3.1)
. (3.4)
Здесь
а=-2; b=1; с=-3; а1=1;
b1=1;
с1=-1.
Определитель
=-30.
Следовательно, уравнение (3.4) относится
к случаю 2. Введем новые переменные x1
и y1
так, что x=x1+h;
y=y1+k.
Теперь запишем уравнение (3.4) в виде
. (3.5)
Система
(3.3)
для
уравнения
(3.5)
следующая:
.
Отсюда
.
Уравнение
(3.5)
можно
записать
в
виде
.
(3.6)
Положим
y1=ux1,
тогда
.
Подставим полученные результаты в
(3.6):
.
Разделим
переменные
;
.
Найдем
+
С.
Следовательно,
но
.
После объединения первого и последнего логарифмов получим общий интеграл уравнения (3.4)
.