- •1.12. Дифференциальные уравнения Для замечаний
- •1.12. Дифференциальные уравнения
- •1.12.1. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений
- •1.12.2. Общий и частный интегралы. Общее и частное решения
- •1.12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка
- •1.12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка
- •1.12.5. Однородные уравнения
- •1.12.6. Уравнения, приводимые к уравнениям с однородной функцией
- •1.12.7. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.12.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1.12.9. Уравнение Бернулли
- •1.12.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •1.12.11. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •1.12.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •Метод вариации постоянных
- •1.12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
1.12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка
Если дифференциальное уравнение разрешить относительно его старшей производной, то полученное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной. Рассмотрим уравнение первого порядка y'=f(x,y). (1.1)
Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области D вместе со своей частной производной по неизвестной функции y, , то для всякой точки М(x0,y0), принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=(x) уравнения(1), удовлетворяющее начальному условию
.
Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.
Сформулируем теперь теорему для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной
y(n)=f(х,y,y',y'', ... ,y(n-1)) (1.2)
с начальными условиями
(1.3)
Теорема. Если функция f(х,y,y',y'', ... ,y(n-1)), зависящая от n+1 переменных: х,y,y',y'', ... ,y(n-1) определена и непрерывна в некоторой (n+1)-мерной открытой области D вместе со своими производными , то для всякой точки М( ), принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=(x) уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.3), причем .
Условия, накладываемые в теоремах на правые части уравнений (1.1) и (1.2), достаточны как для существования, так и для единственности решений уравнений. Для существования решения достаточно потребовать ограниченности производных в открытой области D. Теоремы примем без доказательств.
1.12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка
Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно первой производной:
y'=f(x,y); x'=q(x,y), (2.1)
где неизвестной является функция y(x) (либо x(y)), а известной является функция f(x,y) (либо q(x,y)). Учитывая, что , а , и полагая возможным представить f(x,y) или q(x,y) в виде - , уравнение (2.1) можно записать в симметричной форме
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 . (2.2)
Если в этом уравнении P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде P(x,y)=N(x)R(y) и Q(x,y)=M(x)K(y), то уравнение (2.2) записывается как
N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (2.3)
Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод его решения: разделив (2.3) на произведение M(x)K(y), получим
. (2.4)
Уравнение (2.4) называется уравнением с разделенными переменными. Операция деления уравнения (2.3) на произведение М(х)R(y) называется разделением переменных. Интегрируя (2.4), получим общий интеграл
исходного уравнения. При делении (2.3) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения
М(х)R(y)=0.
Определяя из этого уравнения решение y=(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (2.3). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если
входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.
Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0.
Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим:
.
Интегрируя, получим общий интеграл
x+ln|x|+y+ln|y|=c;
ln|xy|+x+y=c.
В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0 являются решениями исходного уравнения, но не входят в общий интеграл. Следовательно, решения x=0, y=0 являются особыми.