1.5.15.9. Примеры построения графиков функций

Будем проводить построение графиков функций, последовательно отвечая на вопросы, сформулированные ниже.

1. Построить график функции

1. Область определения:   х  ;

2. Периодичность: функция не периодическая;

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку f(x) f(-x) и

f(x) -f(-x);

4. Точки пересечения с осями ОХ и OY.

с осью ОХ: с осью OY: ;

5. Непрерывность: функция непрерывна  х;

6. Асимптоты: функция не имеет ни вертикальных, ни наклонных асимптот;

7. Участки монотонности функции, нахождения экстремума.

Стационарные точки функции: х₁=0, х₂=2, х₃=4.

Составим таблицу

x	(-, 0)	0	(0, 2)	2	(2, 4)	4	(4, )
	—	0	+	0	—	0	+
Рис.		лок. мин.		лок. макс.		лок. мин.
y		0		16		0

Здесь и означают убывание и возрастание функции на соответствующих промежутках.

Примерный график функции представлен на рис.1.

Рис. 1

8. Нахождение точек перегиба: участки выпуклости вверх и вниз графика функции. Вычисляем .

Приравняем нулю

Таким образом

Составим таблицу

x
	+	0	—	0	+
Рис.
y

Окончательный график функции представлен на рис. 2.

Рис. 2

3. Построить график функции

1. Область определения: х.

2. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Периодичность: функция не является периодической.

4. Точки пересечения с осями координат:

Так как х 1, то точки пересечения

C осью ОХ С осью OY .

5. Непрерывность: функция имеет разрывы в точках х=1.

Исследуем характер точек разрыва

х=-1;

Точка х=-1 - точка разрыва 2-го рода

Пусть х=1

Точка х=1 - точка устранимого разрыва.

6. Асимптоты.

х=1 - вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты у=х+1.

7. Участки монотонности, локальный экстремум функции.

Итак, Отсюда следует, что и стационарных точек функция не имеет. При х=1 не существует.

Составим таблицу

x	(-, -1)	-1	(-1, )
	+	не сущ.	+
Рис.

8. Нахождение точек перегиба; участки выпуклости вверх и вниз графика функции.

Составим таблицу

x	(-, -1)	-1	(-1, )
	+	не сущ.	—
Рис.

График функции приведен на рис. 4

Рис. 4

167