1.5.15.4. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке

Теорема. Пусть функция у=f(x).

1) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С;

2) непрерывна в точке С.

Тогда, если существует окрестность точки С, в пределах которой производная положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум). Если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.

Замечание. Требование 2) непрерывности функции в точке С существенно, ибо отсутствие этого требования может привести к функциям (см. рис. 1), не имеющим экстремума в т. С.

Рис.1.

Пример. Найти точки экстремума функции .

Рис.2

Эта функция непрерывна на всей бесконечной прямой (см.рис.2), дифференцируема всюду на этой прямой, за исключением точки х=0. Производная функции при . В точке х=0 эта производная имеет разрыв 2-го рода. Поскольку при , а при , то, следовательно, в силу теоремы в точке х=0 функция имеет минимум.

Замечание. Сформулируем общую схему нахождения точек экстремума.

Пусть функция f(x).

1) непрерывна на множестве Х;

2) производная существует и непрерывна внутри Х всюду, кроме быть может, конечного числа точек;

3) пусть производная обращается в 0 внутри Х лишь, может быть, для конечного числа точек.

Обозначим через х₁,х₂,...х_n точки, в которых производная не существует или равна нулю, а через a и b - концы Х (a и b могут быть и бесконечными).

На каждом интервале (а_1;х₁),(х_1;х₂),...

(x_i-1;x_i),...)(x_n;b) производная в силу условий 1)-3) сохраняет постоянный знак. Поэтому вопрос о наличии экстремума в каждой точке х_i может быть решен при помощи рассмотренных достаточных условий.

1.5.15.5. Направление выпуклости графика функции

Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b), тогда через любую точку М(х, f(x)) этого графика функции можно провести касательную к графику функции f(x), причем эта касательная не параллельна оси OY, т.к. ее угловой коэффициент конечен, ибо равен производной .

Определение. Говорят, что график функции f(x) имеет на (a,b) выпуклость направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a,b) лежит не ниже (см. рис 1,2) (не выше) любой своей касательной.

Рис.1 Рис.2

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) имеет на интервале (a,b) конечную вторую производную, тогда если , то график функции y=f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Замечание. Если - линейная функция, т.е. ее графиком является прямая линия. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным.

Пример.

Таким образом, при , а при и, следовательно, при  х1 график функции имеет выпуклость вверх, а при 1х  -вниз (см. рис.4).

Рис.4

1.5.15.6. Точки перегиба графика функции

Предположим, что график функции y=f(x) имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов (а,с) и (с,b), где числа а,b,c связаны неравенствами a<c<b. Предположим, что к графику функции y=f(x) в точке М(с,f(c)) cуществует касательная не параллельная оси OY, тогда точка М(с,f(c)) графика функции y=f(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки С оси абсцисс, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки С имеет разные направления выпуклости (см.рис.1)

Рис.1

Теорема 1. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М(с,f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке С непрерывную вторую производную тогда (с)=0.

Замечание1. Равенство нулю второй производной не является достаточным условием перегиба. Например, для функции y=x⁴ в точке (0,0) нет перегиба, однако . (см. рис. 2)

Замечание 2. Все точки перегиба дважды непрерывно дифференцируемой функции находятся среди точек, для которых вторая производная равна нулю.

Рис. 2