1.4.3.18. Свойства непрерывных функций Устойчивость знака непрерывной в точке функции
Определение 1. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве {x}, если
Определение 2. Функция f(x) называется ограниченной на множестве {x}, если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т.е.
Обозначения: f(x)B(x).
Теорема
1. Пусть
функция f(x) определена в некоторой
окрестности U точки а, непрерывна в точке
а и f(а)0.
Тогда существует такая -
окрестность т. а, что для всех значений
аргумента из указанной -
окрестности функция f(x) не обращается
в нуль и имеет знак, совпадающий со
знаком f(а).
Замечание 1. Теорема 1 справедлива для полуокрестностей точки а. (см. рис. 13.)
Рис. 13
Теорема 2. (прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков).
Пусть непрерывная на сегменте функция принимает на концах этого сегмента значения разных знаков, тогда внутри сегмента найдется точка, в которой значение функции равно нулю.
.
Теорема 3. Непрерывная на сегменте функция принимает все значения, заключенные между значениями этой функции на концах сегмента.
Доказательство.
Если
, утверждение очевидно. Утверждение
также очевидно и в том случае, когда
.
Теперь, не ограничивая общность, будем
считать, что >,
,
(см. рис.14)
Рис. 14
Рассмотрим функцию (x)=f(x)-. Тогда
.
Таким образом, к функции (x) применима теорема 2. По этой теореме существует (a,b):=0. Но тогда =f()-, т.е. f()=. Теорема доказана.
Теорема 4. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте, то она ограничена на этом сегменте.
Замечание 2. Для интервала или полусегмента утверждение теоремы 4 неверно.
Пример
1.
непрерывна на (-1,0), но не является
ограниченной на этом интервале :
Доказательство не пройдет для
последовательности
.
Определение
3. (рис.15).
Число M (число m) называется точной верхней
(точной нижней) гранью функции f(x) на
множестве
,
если выполнены два требования
1)
(f(x)m).
2)
(f(x0)<m+).
Обозначения:
M=
Рис. 15.
Таким
образом, точные верхняя и нижняя грани
функции - это точные верхняя и нижняя
грани множества значений E(f) функции
f(x) на множестве
.
Следовательно, справедливо следующее
утверждение. Если функция y=f(x) ограничена
на множестве
сверху
(снизу), то у нее существует на этом
множестве точная верхняя грань (точная
нижняя грань). Возникает вопрос,
достигается ли на множестве
точная верхняя и точная нижняя грани,
т.е. существует ли x0
:
,
Пример 2 (рис. 15).
,
но эти точные грани не достигаются
функцией на сегменте [0,1]
Рис. 16.
Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней.
Замечание 3. Функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пример - функция Дирихле.
Замечание 4. Утверждение теоремы 5, вообще говоря, не будет верным для интервала.
Пример: y=x на (0,1) (рис. 17).
Рис. 17
1 1.См., например: Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М.:
Наука, 1971 (и последующие издания), ч.1.