5.4. Структурные средние

Характеристиками вариационных рядов, кроме средней арифметической и средней гармонической, являются структурные средние. К ним относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

В зависимости от типа ряда распределения мода определяется следующими способами:

1. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Пример.

Урожайность зерновых, ц/га	20	21	22	23	24	25	26
Количество хозяйств	3	2	12	5	6	8	4

Мо = 22 ц/га.

2. Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Пример. Имеются данные о численности безработных по возрастным группам.

Таблица 5.3

Возрастная группа, лет	Численность безработных, чел.
До 20	34
20-29	45
30-39	40
40-49	26
50-59	12
Более 60	10

Определить модальный возраст безработных.

Решение. Для нахождения моды сначала находим модальный интервал. Наибольшая частота – 45, соответственно интервал 20-29 является модальным.

т.е. наиболее часто встречается безработный, которому 26,9 лет.

Медиана - это значение признака (варианта), расположенная в середине вариационного ряда.

В зависимости от типа ряда распределения медиана определяется следующими способами:

1. Если данные не сгруппированы и имеется нечетное число показателей, то медианой будет варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда.

Пример.

Номер рабочего	1	2	3	4	5
Количество изделий, шт.	12	15	22	26	28

Ме = 22 шт.

2. Если данные не сгруппированы и имеется четное число показателей, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине упорядоченного ряда.

Пример.

Номер рабочего	1	2	3	4	5	6
Количество изделий, шт.	12	15	22	26	28	30

3. Если ряд дискретный и данные сгруппированы, то есть имеются частоты, то для нахождения медианы подсчитывают сумму накопленных частот. Если сумма накопленных частот превысит половину суммы частот ряда, то данная варианта будет медианой.

Пример.

Месячная зарплата, руб.	Количество рабочих	Сумма накопленных частот
3000	4	4
4000	6	10
5000	11	21
6000	5
7000	8
Итого	34

Ме = 5000 руб.

Если сумма накопленных частот равна точно половине суммы частот, то медианой будет средняя арифметическая из данной варианты и последующей.

Пример.

Месячная зарплата, руб.	Количество рабочих	Сумма накопленных частот
3000	4	4
4000	6	10
5000	8	18
6000	11
7000	5
Итого	34

4. Если ряд интервальный, то медиана определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего медиану;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

Пример.

Таблица 5.6

Месячная заработная плата, руб.	Количество рабочих	Сумма накопленных частот
3000-4000	3	3
4000-5000	8	11
5000-6000	10	21
6000-7000	4
7000-8000	5
Итого	30

Половина рабочих получает заработную плату меньше 5400 руб., половина – больше.

Контрольные вопросы

1. Какие показатели выражаются абсолютными величинами?

2. Перечислите виды единиц измерения.

3. Дайте характеристику индивидуальных и общих абсолютных величин.

4. Какова роль относительных величин в статистике?

5. Что означают именованные и неименованные относительные величины?

6. Перечислите виды относительных величин.

7. Как вычисляется средняя арифметическая простая и взвешенная?

8. Перечислите основные свойства средней арифметической.

9. В каких случаях применяется средняя гармоническая?

10. Какие существуют виды структурных величин?

11. Дайте определение моды.

12. Как определяется мода для дискретных рядов распределения?

13. По какой формуле вычисляется мода для интервальных рядов распределения?

14. Что означает медиана?

15. Как определяется медиана в зависимости от вида дискретного ряда распределения?

16. По какой формуле определяется медиана для интервального вариационного ряда?

Задачи и упражнения

Задача 1

Имеются данные о производстве картофеля сельско-хозяйственным кооперативом:

Год	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Выращено картофеля, тыс. ц	12,3	13,8	13,5	12,7	14,5	13,6

Определите относительные показатели динамики цепные и базисные.

Задача 2

Имеются данные о производстве сахара по пяти сахарным заводам:

Завод	1	2	3	4	5
Произведено сахара, тыс. ц	152,2	143,4	206,7	341,9	148,5

Вычислите относительные показатели структуры.

Задача 3

Имеются данные о производственном стаже семи рабочих:

Рабочий	1	2	3	4	5	6	7
Производственный стаж, лет	15	31	17	9	10	25	21

Определите средний стаж работы.

Задача 4

Имеются данные о месячной заработной плате работников одного завода:

Месячная заработная плата, руб.	Количество работников
До 5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000 8000-9000 9000-10000 Свыше 10000	22 36 27 48 25 29 14

Определите среднемесячную заработную плату одного работника, моду и медиану.

Задача 5

По шести фермерским хозяйствам имеются данные об урожайности и валовом сборе озимой пшеницы:

Фермерское хозяйство	Урожайность, ц/га	Валовый сбор, ц
1 2 3 4 5 6	24 20 18 27 26 19	10800 8120 9198 10638 17446 11343

Определите среднюю урожайность.