Угловая скорость и угловое ускорение

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Если =const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Законы Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона: всякая мате­риальная точка (тело) сохраняет состоя­ние покоя или равномерного прямолиней­ного движения до тех пор, пока воздейст­вие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсче­та. Инерциальной системой отсчета яв­ляется такая система, которая либо по­коится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характе­ристик материи, определяющая ее инерци­онные (инертная масса) и гравитацион­ные (гравитационная масса) свойства.

Сила — это векторная величина, являюща­яся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и раз­меры.

Второй закон Ньютона — ускорение есть отношение силы к массе тела.

a = F/m, или F = ma = mdv/dt =dp/dt (6.7)

Более общая формули­ровка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Выраже­ние (6.7) называется уравнением движе­ния материальной точки.

В соответствии с принципом независимости действия сил результирующего ускорения, с которым перемещается тело, равна векторной сумме ускорений от каждой действующей силы в отдельности.

Третий закон Ньютона

Одновременно действующие на тело силы не влияют друг на друга.

F₁₂=-F_2I, (7.1)

где F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F₂₁ — сила, действующая на вторую мате­риальную точку со стороны первой.

a_ij/a_ji = - m_j/m_i выводится из закона.

Закон сохранения импульса.

т₁, m₂, . .., т_n v₁, v₂, .. ., v_n.

F'₁, F'₂, ..., F'_n — равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел

f₁, f₂, ..., F_n — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

d/dt(m₁v₁)=F'₁+F₁,

d/dt(m₂v₂)=F'₂+F₂,

d/dt)mnv_n)= F'_n+F_n.

Складывая почленно эти уравнения, получим

d/dt (m₁v₁+m₂v₂+... + m_nv_n) = F'₁+F'₂+...+ F'_n+F₁+F₂+...+ F_n.

Второе слагаемое по третьему закону Ньютона равно нулю:

d/dt(m₁v₁+m₂v₂ + ... + m_nv_n)= F₁ + F₂+...+ F_n, или

dp/dt=F₁+ F₂+...+ F_n, (9.1)

Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна гео­метрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Т.о. количество движения замкнутой системы есть величена постоянная.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

где m_i и r_i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе.

Скорость центра масс

Учитывая, что p_i =m_iv_i, а

есть импульс р системы, можно написать

p = mv_c, (9.2)

По 2му закону Ньютона:

mdv_c/dt=F₁+ F₂+...+ F_n, (9.3) т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.