Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения

Материальной точкой называется тело обладающее массой, размерами которого можно пренебречь в рамках данной задачи.

Положение в пространстве определяется с помощью системы отсчета.

Системы отсчета — совокупность систем координат и тела отсчета.

r = r(t). (1.2)

Уравнения (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими уравнения­ми движения материальной точки.

Число независимых координат, полно­стью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степе­ней свободы.

Траекто­рия движения материальной точки — ли­ния, описываемая этой точкой в простран­стве.

Длина участка траектории АВ, прой­денного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется дли­ной пути As и является скалярной фун­кцией времени: s = s(t).

Вектор r=r-r₀, проведенный из начального положе­ния движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматривае­мый промежуток времени), называется пе­ремещением.

|r| <= s.

Скорость

Для характеристики движения материаль­ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости <v> назы­вается отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t:

Направление вектора средней скоро­сти совпадает с направлением r. При неограниченном уменьшении t средняя скорость стремится к предельному значе­нию, которое называется мгновенной ско­ростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени.

Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель­ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости

Т.о. численное значение вектора V равно первой производно по времени от пути.

В случае неравномерного движения пользуются скалярной величиной, которая называется средняя скорость неравномерного движения.

<v> >= |V| т.к. ∆S >= |∆r|

Если выражение ds = vdt (см. форму­лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время t:

Ускорение и его составляющие

Физической величи­ной, характеризующей быстроту измене­ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+t на­зывается векторная величина, равная от­ношению изменения скорости v к интер­валу времени t:

Мгновенное ускорение a есть вектор­ная величина, равная первой производной скорости по времени:

Разложим вектор v на две составля­ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор CD, равный v_, определяет изме­нение скорости по модулю за время t: v_=v₁- v. Вторая же составляющая вектора v-v_n характеризует изменение скорости за время t по направлению.

Тангенциальная составляющая уско­рения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускоре­ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи­тать дугой окружности некоторого радиу­са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует v_n/AB = v₁/r, но так как AB = vt, то

В пределе при t0 получим v₁v.

П оскольку v1v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно­бедренный, то угол ADE между v и v_n стремится к прямому. Следовательно, при t0 векторы v_n и v оказываются взаим­но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра­ектории, то вектор v_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре­ния, равная

Данное ускорение называется нормальной составляющей ус­корения и направлена по нормали к тра­ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометри­ческая сумма тангенциальной и нормаль­ной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из­менения скорости по направлению (на­правлена к центру кривизны траекто­рии).