Глава 3. Волновые процессы

П.3.1 Волны. Уравнение волны и волновое уравнение. Плоская и сферическая синусоидальные волны. Амплитуда, частота, фаза и длина волны, волновое число. Фазовая скорость

3.62 Уравнение незатухающих колебаний дано в виде х = 4 sin 600t см. Найти перемещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75см от источника колебаний, через 0,01с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300м/с.

Ответ: х = 0,04 м.

3.63 Уравнение незатухающих колебаний дано в виде х = sin2,5t см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20м от источника колебаний. Скорость распространения колебаний 100м/с.

Ответ: х = 0; V = 7,85·10^-2 м/с; а = 0.

3.64 Найти разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстоянии соответственно 10 и 16 м от источника колебаний. Период колебаний 0,04с, и скорость распространения 300 м/c.

Ответ: Δφ = π – точки колеблются в противоположных фазах.

3.65 Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстояние 2м друг от друга, если длина волны 1м.

Ответ: Δφ = 4 π – точки колеблются в одинаковых фазах.

3.66 Найти смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l=/12, для момента t=T/6. Амплитуда колебаний А=0,05м.

Ответ: х = 0, 025 м.

3.67 Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Ответ: λ = 0,48 м.

3.68 Плоская звуковая волна имеет период Т = 3 мс, амплитуду А = 0,2 мм и длину волны λ = 1,2 м. Для точек среды, удалённых от источника колебаний на расстояние l = 2 м, найти: 1)смещение ξ(x,t) в момент t = 7 мс; 2) скорость ξ^′ и ускорение ξ^′′ для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

Ответ: 1) ξ(x,t) = 0,14 м; 2) ξ^′ = 0,2 м/с, ξ^′′ = 0,05 м/с².

3.69 От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удалённой от источника на x = ¾λ, в момент, когда от начала колебаний прошло время t = 0,9T?

Ответ: ξ(x,t) = 0,06 м.

П.3.2 Групповая скорость и её связь с фазовой скоростью

3.70 Выведите связь между групповой и фазовой скоростями.

Ответ: u = υ - ( λ·dυ /dλ).

П.3.3 Интерференция монохроматических волн. Временная и пространственная когерентность. Интерференция синусоидальных волн. Стоячие волны

3.71 Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой ν= 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде υ= 1 км/с. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабление колебаний.

Ответ: Δ_max= 2,5 м, Δ_min= 1,25 м.

3.72 Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых фазах. Период колебаний Т= 0,2 с, скорость распространения волн в среде υ= 800 м/c. Определите, при какой разности хода в случае наложения волн будет наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний.

Ответ: Δ = ±80(2m+1),м (m = 0, 1, 2,…);

Δ = ±160m,м (m = 0, 1, 2,…).

3.73 Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвёртой пучностями стоячей волны равно 15см.

Ответ: λ = 0,1 м.

3.74 Определите длину волны λ, если расстояние Δ l между первым и четвёртым узлами стоячей волны равно 30 см.

Ответ: λ= 20 см.

3.75 СВЧ -генератор излучает в положительном направлении оси x плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются обратно. Точки М₁ и М₂ соответствуют положениям двух соседних минимумов интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии l= 5 см. Определите частоту микроволнового генератора.

Ответ: ν= 3 ГГц.

3.76 Определить разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и находящихся на расстоянии друг от друга Δl = 1 м, если длина волны λ= 0,5 м.

Ответ: Δφ= 4π ,точки колеблются в фазе.

3.77 Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на расстоянии x₁= 4 м и x₂= 7 м. Период колебаний T= 20 мс и скорость распространения волны V= 300 м/с. Определите разность фаз колебаний этих точек.

Ответ: Δφ= π, точки колеблются в противофазе.

П.3.4 Эффект Доплера для упругих волн

3.78 Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Первый поезд даёт свисток с частотой 600Гц. Найти частоту колебаний звука, который слышит пассажир второго поезда перед встречей поездов. Скорость звука принять равной 340 м/с.

Ответ: ν = 666 Гц.

3.79 Ружейная пуля летит со скоростью 200 м/с. Найти, во сколько раз изменится высота тона свиста пули для неподвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля. Скорость звука принять равной 333м/с.

Ответ: в 4 раза.

3.80 Летучая мышь летит перпендикулярно стене со скоростью V =6 м/с, издавая ультразвук частотой 4,5·10⁴Гц. Звук каких двух частот слышит летучая мышь? Скорость звука принять равной 340 м/с.

Ответ: ν₁ = 45 кГц; ν₂ = 46,6 кГц.

3.81 Движущийся по реке теплоход даёт свисток частотой ν₀= 400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой ν= 395 Гц. Принимая скорость звука V = 340 м/c, определите скорость движения теплохода. Приближается или удаляется теплоход?

Ответ: V_ист= 4,3 м/с, теплоход удаляется.

3.82 Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приёмника и даёт гудок, частота которого 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/c, определите скачок частоты, воспринимаемый приёмником.

Ответ: Δν= 35,4 Гц.

3.83 Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приёмника и подаёт звуковой сигнал. Приёмник воспринимает скачок частотой Δν= 53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/c, определите частоту тона звукового сигнала гудка поезда.

Ответ: ν₀= 599 Гц.

П.3.5 Упругие волны в газах и жидкостях и твердых телах

3.84 Звуковые колебания, имеющие частоту ν=500Гц и амплитуду А =0,25мм, распространяются в воздухе. Длина волны =70см. Найти: 1) скорость распространения колебаний, 2)максимальную скорость частиц воздуха.

Ответ: 1) 350 м/с; 2) 0,785 м/с.

3.85 Найти скорость распространения звука в стали.

Ответ: с = 5300м/с.

3.86 При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между появлением звука и его приёмом был равен 2,5с. Коэффициент сжатия воды 4,6·10^-10 Па^-1 и плотность морской воды 1030 кг/м³.

Ответ: 1810 м.

3.87 Найти скорость распространения звука в двухатомном газе, если известно, что плотность газа при давлении 760 мм рт. ст. равно 1,29·10^-3г/см³.

Ответ: с = 330 м/с.

3.88 Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой μ= 2,9·10^-2 кг/моль при t = 20 ºС составляет 343 м/с. Определите отношение молярных теплоёмкостей газа при постоянных: давлении и объеме.

Ответ: γ= 1,4.

3.89 Средняя квадратичная скорость <υ_кв> молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определите скорость V распространения звука в газе при тех же условиях.

Ответ: V = 328 м/с.

3.90 Плотность ρ некоторого двухатомного газа при нормальном давлении равна 1,78 кг/м³. Определите скорость распространения звука в газе при этих условиях.

Ответ: υ= 282 м/c.

3.91 Звуковые колебания с частотой ν= 450 Гц и амплитудой А= 0,3 мм распространяются в упругой среде. Длина волны λ= 80 см. Определите: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость частиц среды.

Ответ: 1) V = 360 м/с; 2) (dξ/dt)_max= 0,848 м/с.

3.92 Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью V = 10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии x₁= 7 м и x₂= 10 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Δφ= 3π/5. Амплитуда волны А = 5 см. Определите: 1) длину волны λ; 2)уравнение волны; 3) смещение ξ₂ второй точки в момент времени t₂= 2 c.

Ответ: 1) λ= 10 м; 2) ξ(x,t)= 0,05cos(2πt –π/5*x), м; 3) ξ₂= 5 см.

3.93 Плоская звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты ν = 200 Гц. Амплитуда А колебаний источника равна 4 мм. 1) Написать уравнение колебаний источника ξ (0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально. 2) Найти смещение ξ (x,t) точек среды, находящихся на расстоянии x = 100 см от источника, в момент t = 0,1 с. Скорость υ звуковой волны принять равной 300 м/с. Затуханием пренебречь.

Ответ: 1) ξ(0,t)= 0,004cos(400πt), м; 2) ξ₂= 3 мм.

3.94 Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 0,5 кГц и амплитуда А = 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны λ = 70 см. Найти: 1) скорость υ распространения волн; 2) максимальную скорость ξ^′_max частиц среды.

Ответ: 1) υ = 350 м/с; 2) ξ^′_max = 0,25π м/с.