3.5. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение несобственного интеграла, зависящего от параметра.

2. Дайте определение точечной и равномерной сходимости на множестве. Дать сравнительную характеристику этих понятий (что из чего следует?).

3. Сформулируйте в позитивном смысле определение неравномерной сходимости на множестве.

4. Сформулируйте критерий Коши и -критерий равномерной сходимости .

5. Сформулируйте достаточные условия равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле).

6. При каких условиях является непрерывной, дифференцируемой функцией; когда можно интегрировать несобственный интеграл по параметру; сравнить с соответствующими свойствами функционального ряда.

7. Доказать, что если

1) сходится равномерно на множестве и

2) функция ограничена и монотонна по ,

то интеграл сходится равномерно на .

8. Законен ли переход к пределу под знаком интеграла ? Объяснить причину.

9. Найти точки разрыва функции .

Указание: сделать замену .

10. Доказать, что интеграл Дирихле имеет при производную, однако ее нельзя найти по правилу Лейбница.

Указание: сделать замену .

11. Дайте определение гамма-функции, где она определена, какими свойствами обладает.

12. Дайте определение бета-функции, где она определена, связь с гамма-функцией.

13. Выразить через Эйлеровы интегралы .

14. Доказать (сделать замену ).

Указание: использовать формулу .

3.6. Образцы решения типовых задач

Пример 1. Исследовать, при каких значениях сходится интеграл .

Решение. Особыми точками являются (при ) и (при ). Рассмотрим два интеграла и . В первом интеграле сделаем замену переменной

.

Особая точка ноль.

. сходится при , то есть . Следовательно, сходится при по признаку сравнения.

Второй интеграл: .

Особая точка ноль. . Интеграл сходится при . По признаку сравнения второй интеграл сходится при .

Исходный интеграл сходится, когда сходятся оба рассмотренных интеграла, то есть при .

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость.

Решение. верна оценка , а интеграл сходится по признаку сравнения, так как для достаточно больших справедлива оценка , и интеграл сходится.

По признаку Вейерштрасса исходный интеграл сходится равномерно.

Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость.

Решение. Так как , а и монотонно по убывает к нулю.

Следовательно, по признаку Дирихле, исходный интеграл сходится равномерно.

Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл .

Решение. Пусть . Обе функции и непрерывны в замкнутой области и интеграл сходится, также сходится равномерно при по признаку Вейерштрасса, так как . Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла законно.

.

Замечая, что , найдём константу .

. Итак . В силу произвольности ответ справедлив . Сравнить! Учитывая, что

. Рассмотрим интеграл . Проинтегрируем функцию под знаком интеграла по параметру (что законно, так как условия теоремы об интегрировании несобственного интеграла по параметру выполнены).

.

С другой стороны,

Пример 5. Вычислить интеграл

.

Пример 6. Вычислить интеграл

Пример 7. Вычислить интеграл с помощью и - функций. .

.