3.2. Достаточные признаки равномерной сходимости
Теорема 3. (Признак Вейерштрасса) Если существует неотрицательная функция , определенная на промежутке и интегрируемая по Риману на каждом отрезке , такая, что:
1)
;
,
где
2)
интеграл
сходится,
то интеграл сходится абсолютно и равномерно на множестве .
Признаки
Абеля-Дирихле равномерной сходимости
несобственных интегралов применяются
к исследованию интегралов вида
Теорема 4. (Признак Дирихле) Если
1)
интеграл
равномерно ограничен
и
любого
,
2)
функция
монотонна
на
и равномерно стремится к
на
,
то есть
,
то интеграл сходится равномерно на множестве .
Теорема 5. (Признак Абеля) Если
1)
интеграл
сходится
равномерно на множестве Y,
2)
функция
монотонна
по
на
и равномерно ограничена на
,
то есть
,
то интеграл сходится равномерно на множестве .
3.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
3.3.1. Предельный переход
Теорема
6. Пусть
определена
на множестве
и
1) непрерывна по при каждом ;
2)
равномерно
по
стремится
к
при
(
предельная
точка
)
на каждом отрезке
;
3) интеграл сходится равномерно на .
Тогда
.
3.3.2. Непрерывность
Теорема
7.
Пусть
определена
и непрерывна (как функция двух переменных)
на множестве
и
сходится
равномерно на
.
Тогда интеграл
является
непрерывной функцией на
.
3.3.3. Дифференцирование
Теорема 8. Пусть
определены
и непрерывны на
;
существует точка такая, что
сходится;
сходится
равномерно на множестве
.
Тогда
определена
на
и
.
3.3.4. Интегрирование в собственном смысле
Теорема
9.
Пусть
определена
и непрерывна на
и
сходится
равномерно по
на
.
Тогда
интегрируема
на
и
.
3.3.5. Интегрирование в несобственном смысле
Теорема
10.
(Фубини). Пусть
определена
и непрерывна на
).
Если
1)
сходится
равномерно по
на
любом отрезке
;
2)
сходится
равномерно по
на
любом отрезке
;
3)
существует хотя бы один из интегралов
или
,
тогда имеет место равенство
.
С помощью теории интегралов, зависящих от параметра, можно получить точные значения определенных интегралов от функций, первообразные которых не являются элементарными функциями.
Интеграл Дирихле
.
Интеграл Пуассона
.
3.4. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция, Бета-функция
Интеграл
,
сходящийся
при
,
называется гамма-
функцией или Эйлеровым интегралом II-го рода.
Интеграл
,
сходящийся
при
и
,
называется бета-функцией
или Эйлеровым
интегралом I-го рода.
3.4.1.Основные свойства гамма- и бета-функций
Гамма- и бета функции являются непрерывными и бесконечно дифференцируемыми в своей области определения.
Некоторые из основных формул для гамма-функции.
Формула понижения.
2. Формула дополнения.
Связь между гамма-функцией и бета-функцией
Формулы понижения для бета-функции
Другое интегральное представление бета- функции
.
Бета-функция обладает свойством симметрии относительно переменных:
