1.5. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций (признаки сравнения)

Теорема 1. (необходимое и достаточное условие сходимости интеграла от знакопостоянных функций).

Пусть на и на любом отрезке интегрируема. Для того, чтобы сходился, необходимо и достаточно, чтобы была ограничена на . При этом .

Теорема 2. (признак сравнения).

Пусть и определены на , , и при (в частности, ).

Тогда:

1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;

2) если интеграл расходится, то расходится и .

Теорема 3. (признак сравнения в предельной форме).

Пусть и неотрицательны на , и существует .

Тогда

1. если , то интегралы и ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся;

2. если , то из сходимости следует сходимость ;

3. если , то если расходится, то и расходится.

Замечание. Если , то при , и интегралы ведут себя одинаково.

Часто полезно сравнение с и с .

Вывод:

1. Если при , , то сходится.

Если при ^, , то расходится.

2. Если при , , то сходится.

Если при , , то расходится.

Примеры

1). ; -особая точка функции .

при , так как сходится, то сходится и исходный.

2). ; так как , то особой точкой не является.

при , расходится, значит, расходится и .

3). , при , значит, данный интеграл сходится.

Замечание. сходится при любом .

1.6. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле

Определение. Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если - сходится, a расходится.

Теорема 4. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Достаточные признаки сходимости интегралов от произвольных функций.

Теорема 5. (Признак Дирихле).

Интеграл сходится, если

1. функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную на ;

2. функция непрерывно дифференцируема и монотонна на , причем .

Теорема 6. (Признак Абеля).

Интеграл сходится, если выполнены следующие условия

1. функция непрерывна на и сходится;

2. функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на .

1.7. Контрольные вопросы и задания.

1. Дайте определение несобственного интеграла по неограниченному

промежутку , , .

2. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной на промежутке функции. Какая точка называется особой точкой функции.

3. Вычислить интегралы или установить их расходимость

а) ^б)

3. Сформулируйте критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Сформулируйте в позитивном смысле, что значит: «для не выполняется критерий Коши сходимости».

6. Какие вы знаете достаточные признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций?

7. Дайте определение абсолютно сходящегося несобственного интеграла. Что значит: несобственный интеграл сходится условно? Связь между абсолютной и условной сходимостью.

8. Какие вы знаете достаточные признаки сходимости несобственных интегралов от знакопеременных функций.

9. Доказать, что интеграл сходится при и .

10. При каких значениях интеграл сходится?

11. Пусть сходится и ограничена. Обязательно ли сходится интеграл ? Что можно сказать о сходимости , если сходится абсолютно?

По данной теме целесообразно решить следующие задачи из задачника [3] Т. 2