65. Теоремы единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Прежде всего напомним определение и некоторые свойства гармонической функции. Пусть  - ограниченная область трехмерного пространства, отнесенного к декартовой системе координат x, y, z. Функция u называется гармонической в области , если она непрерывна в замкнутой области , дважды непрерывно дифференцируема в  и удовлетворяет в  уравнению Лапласа: u=0. В случае, когда область  неограничена предполагается дополнительно, что u(x, y, z) при r. Здесь и далее r={x²+y²+z²}. Функция, гармоническая в ограниченной области, может достигать максимального и минимального значений только на границе области. Это - так называемый принцип максимума. Для всякой гармонической в неограниченной области функции u справедливы оценки: где A₀, A₁ - постоянные (зависящие от u). Сформулируем теперь задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Пусть  - ограниченная область трехмерного пространства, Г - ее граница. Через _e будем обозначать внешность области , то есть дополнение ее до всего пространства. Саму область  будем иногда обозначать через _i. Внутренняя задача Дирихле: найти функцию u, непрерывную в замкнутой области , дважды непрерывно дифференцируемую в , удовлетворяющую уравнению Лапласа u = 0     в  _i и граничному условию: u=g    на Г. Здесь и далее через g обозначается заданная непрерывная функция. Внешняя задача Дирихле: найти функцию u, непрерывную в замкнутой области _e, дважды непрерывно дифференцируемую в _e, удовлетворяющую уравнению Лапласа u = 0     в  _i и граничному условию: u=g    на Г Внутренняя задача Неймана: найти функцию u, непрерывную в замкнутой области _e, дважды непрерывно дифференцируемую в _e, удовлетворяющую уравнению Лапласа u = 0     в  _i и граничному условию: u_n=g    на Г Внешняя задача Неймана: найти функцию u, непрерывную в замкнутой области _e, дважды непрерывно дифференцируемую в _e, удовлетворяющую уравнению Лапласа u = 0     в  _e и граничному условию: u_n=g    на Г Здесь u_n - производная функции u по нормали к Г. Для определенности будем полагать, что это - внешняя по отношению к  нормаль.

Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположив, что рассматриваемая задача имеет два решения, получим, что их разность есть гармоническая в  функция, равная нулю на Г. Вследствие принципа максимума она равна нулю всюду на .

Теорема 2. Внешняя задача Дирихле не может иметь более одного решения.

Доказательство. Разность двух возможных решений внешней задачи Дирихле - гармоническая в _e функция u, равная нулю на Г. Пусть (x₀,y₀,z₀) - некоторая точка из _e. Построим шар B с центром в начале координат, включающий в себя область  и точку (x₀,y₀,z₀). Вследствие первой из оценок (1) для любого  > 0 радиус шара B можно выбрать таким, что |u| на границе B, тогда по принципу максимума |u| на B\_i. В частности, |u(x₀,y₀,z₀)|. Поскольку  произвольно, отсюда вытекает, что u(x₀,y₀,z₀)=0, а так как и точка (x₀,y₀,z₀) была выбрана произвольно, то u=0 всюду в _e.

Теорема 3. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. Для разности u двух возможных решений имеем u = 0 на , u_n=0 на Г. Умножим первое из этих уравнений на u и проинтегрируем по области . После применения формулы интегрирования по частям получим, учитывая равенство нулю нормальной производной: _(u_x²+u_y²+u_z²)d=_Гuu_ndГ=0, и, следовательно, u_x=u_y=u_z=0 на , то есть u=const.

Теорема 4. Внешняя задача Неймана не может иметь более одного решения.

Доказательство. Разность u двух возможных решений внешней задачи Неймана - функция гармоническая в _e, причем u_n=0 на Г. Пусть B_R - шар с центром в начале координат, содержащий , R - радиус шара, S_R - его граница, _R=S_R\. Рассуждая по аналогии с доказательством теоремы 3, получим Вследствие оценок (1) будем иметь на S_R, следовательно, . Таким образом, за счет выбора R может быть сделан меньшим любого наперед заданного положительного числа, но это возможно лишь в том случае, когда u_x=u_y=u_z=0 в области _e. Отсюда вытекает, что u=const в _e, а поскольку u0 на бесконечности, то u=0 в _e. Теорема доказана.