64. Принцип максимума и теорема единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Пусть  - ограниченная область трехмерного евклидова пространства, отнесенного к декартовой системы координат x, y, z , Г - граница области,  Q_T=×[0,T] - цилиндр в четырехмерном пространстве высоты T и с основанием . Обозначим через Г_T=Г×[0,T] боковую поверхность цилиндра, а через S - часть границы цилиндра Q_T, состоящую из его нижнего основания (t=0) и боковой поверхности.

Теорема. Пусть функция u определена и непрерывна в замкнутой области [(Q_T)], дважды непрерывно дифференцируема в объединении области  Q_T  и ее верхнего основания Q×(t=T), удовлетворяет во внутренних точках цилиндра Q_T и его верхнего основания однородному уравнению теплопроводности: u_t=a²u Тогда функция u может принимать максимальное и минимальное значения только на S.

Док-во. Можно ограничиться доказательством утверждения для максимального значения, поскольку, если функция u удовлетворяет условиям теоремы и в некоторой точке достигает минимального значения, то функция u также удовлетворяет всем условиям теоремы и в той же точке достигает своего максимального значения. Пусть M=max_{(x,y,z,t)Qt}u(x,y,z,t), m=max_{(x,y,z,t)S}u(x,y,z,t) и пусть вопреки утверждению теоремы M > m. Ясно, что M=u(x₀,y₀,z₀,t₀), где (x₀,y₀,z₀,t₀) либо - внутренняя точка Q_T, либо принадлежит верхнему основанию цилиндра Q_T. Введем в рассмотрение функцию где d - диаметр области . Ясно, что в любой точке (x,y,z,t)S а v(x₀,y₀,z₀,t₀)=u(x₀,y₀,z₀,t₀)=M, поэтому функция v не может принимать максимальное значение на S и, следовательно достигает его в некоторой точке (x₁,y₁,z₁,t₁), которая либо лежит внутри цилиндра Q_T, либо на его верхнем основании. В любом из этих случаев вторые производные v_xx, v_yy, v_zz неположительны в точке (x₁,y₁,z₁,t₁), и, значит, в этой точке v0. Ясно также, что v_t(x₁,y₁,z₁,t₁)=0 в первом случае и v_t(x₁,y₁,z₁,t₁)  0 во втором случае. Таким образом, v_t-a²v  0 в точке (x₁,y₁,z₁,t₁). С другой стороны, учитывая, что функция u - решение однородного уравнения теплопроводности, будем иметь Полученное противоречие доказывает теорему. Используя только что доказанную теорему, нетрудно обосновать единственность решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Напомним, что эта задача состоит в отыскании функции u, удовлетворяющей уравнению u_t=a²u + f,    (x,y,z)  , t > 0, начальному u(x,y,z,0)=u₀(x,y,z), (x,y,z)  и граничному u(x,y,z,t)=u_Г(x,y,z,t),  (x,y,z)Г, t>0 условиям. Если предположить, что рассматриваемая задача имеет два решения u₁ и u₂, то функция u=u₁-u₂ будет решением однородного уравнения теплопроводности и будет удовлетворять однородным начальному и граничному условиям. Возьмем некоторое T > 0. Вследствие доказанного нами принципа максимума в цилиндре Q_T функция u может достигать своего максимального и минимального значений только на S, но там они вследствие однородности начального и граничного условий равны нулю. Это означает, что функция u обращается в нуль в области Q_T, а поскольку T можно брать сколь угодно большим, то отсюда вытекает, что функция u обращается в нуль при всех (x,y,z) и при всех t > 0, и, следовательно, первая краевая задача для уравнения теплопроводности не может иметь более одного решения.