63. Решение первой краевой задачи для однородного уравнения колебаний струны методом разделения переменных.

Рассматривается краевая задача u_tt=a²u_xx,    0 < x < l, t > 0, (1) u(0,t)=0,    u(l,t)=0,  t > 0, (2) u(x,0)=u₀(x),    u_t(x,0)=u₁(x),  0 < x < l. (3) Решение уравнения (1) будем искать в виде u(x,t)=X(x)T(t). Подставляя это выражение в уравнение (1), получим a²X’’(x)T(t)=T’’(t)X(x). Поделим обе части последнего равенства на a²X(x)T(t). Получим В уравнении (4) левая часть есть функция переменной x, а правая - функция переменной t, следовательно, равенство (4) может быть выполнено при всех x, t из рассматриваемой области, лишь при условии, что и левая и правая его части на самом деле есть постоянные:

 = const. Знак минус здесь использован лишь для удобства дальнейших записей. Таким образом, для отыскания функций X(x), T(t) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения Потребовав, чтобы функция удовлетворяла не только уравнению (1), но и граничным условиям (2), получим граничные условия для функции X: Задача (6), (8) называется задачей Штурма-Лиувилля. Функция X, не равная тождественно нулю, удовлетворяющая уравнению (6) и граничному условию (8) при некотором , называется собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля; соответствующее значение параметра  называется собственным числом задачи Штурма-Лиувилля. Собственные функции и собственные числа рассматриваемой нами задачи Штурма-Лиувилля мы найдем в явном виде. Покажем сначала что собственные числа этой задачи могут принимать только положительные значения. Действительно, если  < 0, то общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (6) имеет вид X(x)=c₁e^-x+c₂ e^--x. Граничные условия (8) порождают систему линейных алгебраических уравнений для параметров c₁, c₂: c₁+c₂=0,    c₁e^{- L} +^C₂ e^{-- L}=0 определитель которой равен e^{-- L} - e^{- L} и очевидно отличен от нуля. Поэтому рассматриваемая система имеет только тривиальное решение: c₁=c₂=0, следовательно задача (6), (8) при  > 0 может иметь только тривиальное решение. Пусть теперь  = 0. Общее решение уравнения в этом случае есть X(x)=c₁x+c₂. Граничные условия (8) вновь могут быть выполнены лишь при c₁=c₂=0, то есть и  = 0 не может быть собственным значением задачи Штурма-Лиувилля. Остается принять, что  < 0. В этом случае общее решение уравнения (6), записанное в тригонометрической форме, имеет вид X(x)=c₁cos x+c₂sin x. Удовлетворяя граничные условия (8), получим c₁=0, c₂sinL=0. Естественно, мы должны принять, что c₂0, но тогда sinL=0, откуда получаем, что =_n=((n)/L)²,    n=1,2,…. Этим значениям параметра  соответствуют нетривиальные решения X(x)=c₂X_n(x)=sin((n)/L)x задачи (6), (8). Итак, _n, c₂X_n(x)     n=1,2,… - собственные числа и соответствующие им собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Естественно, что собственные функции как решения однородного уравнения определяются с точностью до постоянного множителя. В дальнейшем постоянную c₂ удобно считать равной единице. Пусть теперь T_n - общее решение уравнения (7) при =_n: T_n(t)=a_ncos(a²_n) t+b_nsin(a²_n) t, или (после элементарных преобразований) . В силу определения функций X_n,  T_n получаем, что функция при любых n=1,2,… и любых значениях постоянных a_n, b_n удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (2). Решение уравнения (1), удовлетворяющее также и начальным условиям будем разыскивать в виде бесконечной суммы Предположим теперь, что функции u₀, u₁ могут быть представлены в виде разложений в ряд Фурье по синусам Коэффициенты Фурье вычисляются по известным из курса математического анализа формулам Сравнивая равенства (9) и (10), получаем, что начальные условия (3) выполняются, если положить Таким образом решение задачи (1)-(3) построено. Следует однако отметить, что это - формальное решение. При некоторых условиях на функции u₀, u₁ можно показать, что ряд, определяющий функцию u, а также ряды, получаемые по членным дифференцированием этого ряда дважды по x и по t, равномерно сходятся при 0  x  l, t  0, и, следовательно, полученная нами формула действительно определяет решение задачи (1)-(3).