2.10. Ордінали
Як ми вже говорили, ордіналом називається поряд ¬ ковий тип цілком упорядкованої множини, тобто клас всіх ізоморфних йому впорядкованих множин (природно, вони будуть цілком впорядкованими).
На ордіналах природно визначається лінійний по ¬ рядок. Щоб порівняти два ордінала а і /?, Візьмемо їх представники А ж В. Застосуємо теорему 22 і подивився ¬ трим, який із трьох випадків (А ізоморфно початкового відрізку В, відмінному від усього В; безлічі А ж В з ¬ морфних; В ізоморфно початкового відрізку А, відмінному від усього А) має місце. У першому випадку а </?, У дру ¬ ром а = /?, В третьому а> / 3.
Ми відволікаємося від труднощів, пов'язаних з основа ¬ нями теорії множин (див. розділ 1.6); як формально можна виправдати наші міркування, ми ще обговоримо. Поки що зазначимо деякі властивості ордіналов.
• Ми визначили на ордіналах лінійний порядок. Цей порядок буде повним: будь непорожнє сімей ¬ ство ордіналов має найменший елемент (теоре ¬ ма 23; різниця лише в тому, що ми не вживали там слова «ордінала», а говорили про представників).
•
чільного відрізок [0, а) в класі ордіналов (образо ¬ ний усіма ордіналамі, меншими а в сенсі зазначеного порядку). Цей відрізок впорядкований за типом а (тобто ізоморфний представникам ординар ¬ налу а). Справді, нехай А - один з поперед ¬ ставників ордінала а. Ордінали, менші а, со ¬ відповідать власним (не збігається з А) початковим відрізкам безлічі А. Такі відрізки мають вигляд [0, а) і тим самим перебувають у взаємно однозначній відповідності з елементами безлі ¬ ства А. (Легко перевірити, що це відповідність зберігає порядок.)
Сказане можна переформулювати так: кожен ордінала впорядкований як безліч менших ординар ¬ лів. (В одному з формальних побудов теорії ордіналов кожен ордінала дорівнює безлічі всіх менших ордіналов.)
•
ет безпосередньо передує йому (в розумінні зазначеного порядку) ордінала. Якщо такого немає, ор ¬ Динал називають граничним.
•
точну верхню межу (найменший ордінала, біль ¬ ший або рівний всім ордіналам сімейства). Справді, візьмемо якийсь ордінала являю ¬ щийся верхньою межею. Тоді все ордінали се ¬ мейства ізоморфні початковим відрізкам безлі ¬ ства П. представляє ордінала Якщо серед цих відрізків є саме В, то /? буде точною верх ¬ ній гранню (і найбільшим елементом сімейства).
Якщо ні, то ці відрізки мають вигляд [О, Ь) для раз ¬ особистих елементів Ь t В. Розглянемо безліч S всіх таких елементів видання. Якщо S не обмежена в В, то / 3 буде точною верхньою межею. Якщо S огра ¬ нічено, то воно має точну верхню межу я, і [О, s) буде точною верхньою межею сімейства.
Можна сказати, що сімейство ордіналов - це як би універсальне цілком впорядковане сімейство; лю ¬ бою цілком упорядкований безліч ізоморфно неко ¬ торому початкового відрізку цього сімейства. Тому ми негайно прийдемо до протиріччя, якщо захочемо розглянути безліч всіх ордіналов (адже для вся ¬ кого цілком упорядкованої множини є ще біль ¬ шиї - додамо до нього новий елемент, більший всіх пре ¬ попередні). Цей парадокс називається парадоксом Бура-ли-Форті.