9.3. Получение изображений в сложных системах [1, 8]

9.3.1. Дифракционно-ограниченные системы

Теории Аббе и Релея

Предположим, что рассматриваемая оптическая система cостоит не из одной линзы, а из нескольких линз, среди которых могут быть как положительные, так и отрицательные. Линзы могут и не быть "тонкими". Будем предполагать, однако, что система в конечном счете дает действительное изображение, но фактически это не ограничение, так как если система дает мнимое изображение, то оно может быть преобразовано в итоге в действительное, например глазом. Значит, в подобном случае нам следует включить глаз в качестве конечного элемента в нашу систему.

При рассмотрении свойств системы линз будем считать, что все элементы, создающие изображение, помещены в один "черный" ящик" и что основные свойства системы можно полностью описать, определяя только конечные свойства этого устройства.

Согласно рис. 9.1.1, входом этого черного ящика служит входной зрачок, представляющий собой отверстие конечных размеров (эффективнное или действительное), через которое должен проходить свет прежде, чем он достигнет элементов, создающих изображение, а выходом - выходной зрачок (также эффективный или действительный), представляющий собой отверстие конечных размеров, через которое свет проходит после создающих изображение элементов на пути к плоскости изображения. Обычно считают, что путь света между входной и выходной плоскостями может быть достаточно полно описан в приближениях геометрической оптики. Таким образам, конечный размер обоих зрачков можно найти, строя по законам геометрической оптики проекцию наименьшей апертуры системы соответственно в пространстве предметов и пространстве изображений. Поскольку размеры получающихся зрачков определяются размерами изображенния эффективного отверстия, существующего где-то внутри системы, они могут быть меньше действительных физических размеров отверстий в входной и выходной плоскостях. Заметим, что при таком определении входной зрачок всегда является изображением выходнного зрачка и наоборот.

Оптическая система называется дифракционно ограниченной, если она преобразует расходящуюся сферическую волну, исходящую из любого точечного источника, в новую идеальную сферическую волну, которая сходится в точке, лежащей в плоскости изображения. Таким образом, конечное свойство дифракционно ограниченной системы линз заключается в том, что она преобразует расходящуюся сферическую волну, падающую на входной зрачок, в сходящуюся сферическую волну, выходящую через выходной зрачок. Для любой реальной оптической системы это свойство выполняется в лучшем случае только для конечной области в плоскости предмета. Если рассматриваемый предмет не выходит за пределы этой области, систему можно отнести к дифракционно ограниченной. Если в действительности фронт волны от точечного источника после выходного зрачка значительно отличается от идеальной сферической формы, то говорят, что оптическая система имеет аберрации.

Геометрическая оптика с достаточной точностью описывает прохождение света от входного зрачка к выходному, поэтому дифракционные эффекты играют заметную роль только на пути света от предмета к входному зрачку и от выходного зрачка к изображению. Действительно, все ограничения, налагаемые дифракцией, можно связать с любым из этих двух участков пути распространения света. Утверждения о том, что разрешение изображения ограничивается входным зрачком конечных размеров или выходным зрачком конечных размеров, полностью эквивалентны. Основная причина эквивалентности заключается в том, что один зрачок представляет собой просто изображение другого.

Представление о том, что обсуждаемые дифракционные эффекты обусловлены входным зрачком конечных размеров, было впервые введено Эрнстом Аббе в 1873г. Согласно теории Аббе, только определенная часть дифракционных максимумов, созданных сложным предметом, пропускается входным зрачком конечных размеров. Не пропускаются зрачком те максимумы, которые соответствуют высокочастотным составляющим предмета. Это положение иллюстрирует рис. 9.3.1, где предметом служит простая решетка, а оптическая система состоит из одной положительной линзы.

 

Рис. 9.3.1. Формирование изображения по Аббе

В 1896 г. Релей высказал другую, фактически эквивалентную точку зрения, в соответствии с которой дифракционные эффекты обусловлены выходным зрачком конечных размеров. Тем самым, на сложные оптические системы могут быть перенесены соотношения (3.2.34) и (3.2.35), полученные для однолинзовой системы, путем замены апертурной функции линзы Р на апертурную функцию выходного зрачка системы. К сложным системам, формирующим изображение непосредственно применимо понятие передаточной функции.

Передаточная функция Н определяется как фурье-образ переходной функции  , которая в свою очередь определяется преобразованием Фурье от фукции выходного зрачка (переходная функция будет выражаться формулой (9.2.35) в предположении,что функция P относится к выходному зрачку)

Таким образом, мы приходим к выводу, что для дифракционно ограниченной системы

(9.3.1)

Это крайне важное соотношение, так как оно дает информацию относительно поведения дифракционно ограниченных когерентных систем в частотной области. Так как функция зрачка Р всегда равна или единице или нулю, то же самое справедливо и для передаточной функции. Это, естественно, означает, что в частотной области дифракционно ограниченная система имеет конечную полосу пропускания, внутри которой все частотные составляющие пропускаются без искажения амплитуды и фазы. На границе этой полосы пропускания частотный отклик сразу падает до нуля, в силу чего частотные составляющие вне полосы пропускания полностью подавляются.

Поскольку функция зрачка системы играет принципиальную роль в формировании структуры изображения, возникает вопрос о возможности подбора такого амплитудного пропускания зрачка системы, при котором ослабляются боковые лепестки дифракционной картины резко очерченной диафрагмы. Появление боковых лепестков в дифракционной картине аналогично эффекту оптических выбросов или эффекту Гиббса. Как известно, эффект Гиббса полностью исчезает, если от зрачка, амплитудное пропускание которого описывается прямоугольным импульсом, перейти к зрачку, описываемому треугольным импульсом. Наиболее подходящей формой зрачка является такая, амплитудное пропускание которой описывается функцией Гаусса. Действительно, в этом случае картина дифракции далекого поля описывается фурье- образом зрачка, а фурье-образ функции Гаусса равен функции Гаусса. Боковые лепестки при этом полностью исчезают. Процесс аподизации сопровождается неизбежным уширением основного пика дифракционной картины.

Mетод аподизации, основанный на сглаживании функции пропускания зрачка системы, является весьма эффективным способом улучшения пространственной структуры оптического сигнала. На рис. 9.3.2 приведены результаты аподизации картины дифракции далекого поля. С помощью аподизации удается разделить изображение двух близко расположенных предметов, когда они очень сильно отличаются между собой по интенсивности.

 

Рис. 9.3.2. Влияние аподизации на вид картины дифракции далекого поля. Вверху - дифракция без аподизации; внизу - после аподизации