3.5. Инвариант Аббе
Пусть две среды с показателями преломления n и n’ разделены преломляющей поверхностью с радиусом кривизны r (рис. 3.5.1).
Рис. 3.5.1
По закону преломления:
При малых углах i и i’ можно записать:
Проведем произвольный луч ANA’ . Так как углы и ’ малы, то будет мала величина h . Пренебрегая отрезком HO , можно записать из треугольников ANH, NCH, HNA’:
;
;
.
Из треугольника ANC , i - внешний угол,
; 
Из треугольника NCA’ , - внешний угол,
; 
Подставляя в уравнение закона преломления, получаем:
или
Сокращая на h , получаем инвариант Аббе:
Из формулы Аббе следует, что положение точки A’ зависит только от положения точки A и не зависит от углов, образованных лучом с осью. То есть, всякий луч, проходящий через точку A непременно пройдет через точку A’ .
Однако эта формула справедлива только для параксиальных лучей, идущих бесконечно близко к оптической оси. Для лучей образующих конечные углы с оптической осью, так называемых действительных лучей, мы не можем делать замену закона преломления, которая осуществлена нами в начале параграфа. Следовательно, положение точки A’ будет зависеть от угла и гомоцентрический пучок лучей исходящий из точки A перестает быть гомоцентрическим при сходе в точке A’ . Изображение A’ точки A становится размытым.
Формула Аббе позволяет найти фокусные расстояния одной преломляющей поверхности. Для этого примем, что луч идет из бесконечности, то есть s = - , тогда s’ = f’ :
; 
; 
И наоборот sэ = , тогда s = f
; 
; 
Определим отношение фокусных расстояний
При n’ = n : f’ = - f
Из рис. 3.5.2 видно
Рис. 3.5.2
; 
.
Также
; 
.
Подставляя эти формулы в закон преломления для малых углов, получим:
; 
; 
Это так называемая формула или инвариант Лагранжа-Гельмгольца.
3.6. Расчет хода нулевого луча
Из рис. 3.5.2 видно, что
;
Умножая инвариант Аббе на h , получим
, 
Применяя формулу в более общем виде, получим для S -ой поверхности:
Для вычисления по этой формуле необходимо знать высоту h луча на преломляющей поверхности. Рассмотрим рис. 3.6.1. Здесь показано преломление луча на двух поверхностях S и S+1 . Луч падает на поверхность S с радиусом кривизны rS на высоте hS , после преломления встречает поверхность S+1 с радиусом rS+1 на высоте hS+1 .
Рис. 3.6.1
Так как мы рассматриваем лучи параксиальные, то практически расстояние между вершиной поверхности и следом перпендикуляра на оптической оси для каждой поверхности описывается уравнением:
;
.
Таким образом, для расчета хода нулевого луча через систему поверхностей мы имеем систему формул:
При практическом расчете хода луча, принимают некоторые начальные условия. Так, например, первую высоту h , берут равной обыкновенно радиусу кривизны первой поверхности h1=r1 . В этом случае первая формула для расчета 2 упрощается. Здесь не следует пугаться того, что h1 может оказаться больше, чем размер линзы, то есть луч проходит вне линзы. На точность и результаты расчета это никакого влияния не оказывает.
Если мы рассматриваем лучи, идущие из края предмета, то принимается 1 = 0 , и после прохождения оптической системы точка пересечения луча с оптической осью (или продолжение луча) дает нам положение фокуса всей оптической системы. Изображение крайней точки предмета, из которой проведен луч, будет лежать на луче, прошедшему систему.
Для определения положения предмета рассчитывается ход луча, идущего из центральной точки предмета, то есть, точки пересечения предмета с оптической осью системы (мы все время предполагаем, что рассматриваются предметы расположенные симметрично оптической оси).
После прохождения системы точки пересечения этого луча с оптической осью дает нам положение изображения центральной точки предмета, а следовательно, и всего предмета в пространстве изображений.
Величина изображения определяется расстоянием или, иначе сказать, длиной перпендикуляра, опущенного из точек пересечения второго луча с оптической осью на луч, рассчитанный нами вначале, то есть на луч, проходящий через фокус системы.
Рис. 3.6.2
Как только что было показано, расчетхода нулевого луча принимается для вычисления положения фокуса оптической системы, для ее заднего фокусного расстояния (рис. 3.6.2).
В результате расчета хода нулевого луча полагают 1 = 0 при h1 , находят высоту hm на главных плоскостях последней системы и последний угол m+1
Из треугольника PmSmF’
Буквами SF и S’F обозначаются расстояния от фокуса (переднего или заднего, соответственно) до поверхностей системы (парной или последней, также соответственно).
Для определения заднего фокусного расстояния системы находим положение задней главной плоскости H . Для этого определяем точку пересечения входящего в систему и выходящего из системы луча (точка M ), тогда
