Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм»

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность того, что выполняется неравенство .

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством .

Воспользуемся формулой:

Получим:

.

Если выразить отклонение в средних квадратичных отклонениях: , получим:

Если и, следовательно, , получим:

,

т.е. такое отклонение является почти достоверным (правило «трех сигм»).

Другими словами, если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. В этом и состоит сущность правила «трех сигм».

На практике правило «трех сигм» применяют так: если распределение изучаемой средней величины неизвестно, но правило «трех сигм» выполняется, то есть основания полагать, что изучаемая величина распределена нормально, и наоборот.

Многомерные случайные величины

На практике при исследовании случайных явлений часто приходится рассматривать случайные события, которые описываются упорядоченным набором действительных чисел , совокупность которых можно рассматривать как значение – мерной случайной величины .

Многомерной случайной величиной называется величина, которая при проведении опыта принимает в качестве своего значения не число, а целый набор чисел, заранее не известно каких. Эти наборы, которые случайная величина может принять, образуют множество ее возможных значений. Таким образом, хотя конкретный набор не предугадаешь, он будет из множества возможных наборов (часто это множество хорошо известно).

Понятие многомерной случайной величины аналогично таким понятиям, как система случайных величин или многомерный случайный вектор. Каждое элементарное событие может рассматриваться, как результат сложного испытания, состоящего в измерении всех величин и интерпретироваться, как точка – мерного пространства ( ) или, как вектор . Каждая из величин является одномерной случайной величиной и называется составляющей (компонентой). Если говорят, что – случайный вектор (или – мерная случайная величина), то величины называют его случайными координатами. Аналогично одномерным случайным величинам различают дискретные многомерные случайные величины (их составляющие дискретны) и непрерывные многомерные случайные величины, которые устроены более сложно (их составляющие непрерывны).

Остановимся более подробно на двумерных случайных величинах.

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел , где и ( ; ) – возможные значения величин и , соответственно, и вероятностей их совместного появления .

Двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы распределения.

Таблица

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей , а первый столбец – все возможные значения составляющей .

Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной дискретной случайной величины, вводится понятие условного распределения.

Вероятность совместного появления дискретных случайных величин можно выразить в виде:

,

где – условная вероятность.

Условное распределение составляющей при – это совокупность условных вероятностей:

,

вычисленных в предположении, что событие ( имеет одно и то же значение при всех значениях ) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей .

Так как события ( ; ) образуют полную группу, то .

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из ее составляющих. Так, например, вероятность того, что примет значение , равна

Совместная функция распределения двумерной случайной величины

Пусть – пара действиительных чисел. Обозначим вероятность события , состоящего в том, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , обозначим через .

Если и будут меняться, то, в общем случае, будет изменяться и , т.е. есть функция от и .

Функция , определяющая для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение меньшее , и при этом примет значение меньшее , называется совместной функцией распределения двумерной случайной величины (безразлично, дискретной или непрерывной):

= .

Геометрически это равенство можно истолковать так: – это вероятность того, что случайная точка ( ) попадет в бесконечный квадрант с вершиной ( ), расположенный левее и ниже этой вершины.