Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Для непрерывных случайных величин, так же, как и для дискретных, используют понятия математического ожидания и дисперсии.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

,

где – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

.

Мода ( ) непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности. Медианой ( ) непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:

.

Основные свойства математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин остаются такими же, как и для дискретных случайных величин.

Начальные и центральные моменты для непрерывных случайных величин находятся по формулам:

,

.

Основные примеры распределений непрерывной случайной величины Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:

Дисперсия может быть вычислена следующим образом:

Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:

.

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

,

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, получаем на основании общей формулы с учетом того, что при :

.

Интегрируя это выражение по частям, находим: .

Дисперсию для экспоненциального распределения можно получить, используя выражение:

.

Подставляя выражение для плотности вероятности, находим:

Вычисляя интеграл по частям, получаем: .

Нормальное распределение

Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

Свойства функции Гаусса

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

Проведем исследование функции:

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, что функция определена на всей оси .

2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Ось служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку . Других асимптот у графика нет.

4. При функция имеет максимум, равный .

5. Функция четная: ее график симметричен относительно прямой .

6. При график функции имеет точки перегиба.

Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра , ведет к сдвигу кривой вдоль оси без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр ): с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси . Но при любых значениях параметров и , согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью остается равной единице.