Распределение Пуассона

Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а – имеет конечное значение. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :

.

В биномиальном распределении величина имеет смысл математического ожидания. Проведем вычисления математического ожидания для распределения Пуассона:

.

Таким образом, в распределении Пуассона величина также имеет смысл математического ожидания.

Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:

,

поскольку

,

Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна .

Геометрическое распределение

Рассмотрим серию независимых испытаний, в ходе которых появлялось событие с вероятностью , одинаковой для всех испытаний. Испытания в каждой серии проводились до появления события и заканчивались, как только событие происходило. Обозначим через число испытаний, которые нужно провести до появления «успеха». Очевидно, что возможными значениями дискретной случайной величины являются натуральные числа . Пусть событие наступило после безуспешных испытаний, т.е. . Вероятность этого события по теореме умножения вероятностей равна . Полученный закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где . Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром :

Примерно так же находится и дисперсия .

Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения вероятностей

Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной не может характеризоваться вероятностью ее конкретного значения, так как таких значений бесконечное множество.

Для характеристики непрерывной случайной величины используется функция распределения вероятностей, которая, так же как и для дискретной случайной величины, представляет собой вероятность события :

Однако, в отличие от дискретной случайной величины в данном случае пробегает все непрерывное множество значений, а сама функция возрастает монотонно.

В некоторых случаях на значения случайной величины могут быть наложены ограничения. Например, если случайная величина представляет собой время выполнения некоторой операции , то с учетом неравенства функция распределения вероятностей будет располагаться лишь в правой полуплоскости.

Если вероятность события равна , а вероятность события равна , то вероятность того, что случайная величина заключена между и равна разности соответствующих значений функции распределения:

.

Кроме функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения вероятностей:

.

Значит, можно найти функцию распределения вероятностей, интегрируя плотность вероятности в общем случае от до рассматриваемого значения , т.е.

.

Аналитические выражения для функций распределения вероятностей или плотности вероятности носят название законов распределения.

Для любого значения на основании функции распределения можно определит вероятность события .

В некоторых случаях по заданной вероятности требуется найти такие значения , для которых выполняется равенство . Значение , для которого это равенство выполняется, называют квантилью, отвечающей заданному уровню вероятности.