Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .
Дисперсия
такой величины
.
Пусть
– любое положительное число. Исключим
из суммы
все члены, для которых
.
В
этом случае сумма уменьшится:
,
где
.
Если
теперь в правой части этого неравенства
все значения
заменить на меньшее значение
,
то неравенство усилится:
.
В
этом неравенстве
– это вероятности таких значений
,
для которых
,
а вся сумма
представляет собой вероятность того,
что случайная величина
,
т.е.:
Отсюда следует неравенство Чебышева:
,
которое позволяет оценить вероятность того, что .
Замечание.
Если рассмотреть противоположное
событие
,
то вероятность такого события
.
Это неравенство используется, в частности, для доказательства теоремы Чебышева.
Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :
.
Тогда,
каково бы ни было число
,
вероятность события
стремится к единице при .
Доказательство.
Положим
.
Эта величина является случайным числом. Найдем ее математическое ожидание и дисперсию:
.
Так как независимы, то дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
.
Из
неравенства Чебышева с учетом сделанных
обозначений, т.е.
,
получаем
.
Отсюда
следует, что с ростом
вероятность события
стремится к единице.
Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.