- •Предмет курса. Основные понятия. Общая схема решения задач. Производственная задача.
- •Графический метод.
- •Каноническая задача. Базисный план. Формула приращений
- •Критерий оптимальности.
- •Достаточное условие неограниченности. Алгоритм обратной матрицы.
- •Итерация. Симплекс-метод (алгоритм).
- •Конечность. Геометрическая интерпретация.
- •Двухфазный симплекс-метод.
- •Выводы и следствия двухфазного симплекс-метода.
- •Приведение задач к канонической форме. Табличная реализация симплекс-метода.
- •Двойственная задача. Взаимодвойственность.
- •Соотношения двойственности 1,2.
Графический метод.
Метод применим к задачам линейного программирования с двумя переменными:
(1)
(2)
Алгоритм:
В декартовой системе координат на плоскости строим множество планов задачи, как пересечение -полуплоскостей, задаваемых линейными ограничениями системы (2).
При этом возможен один из случаев:
а) – пустое множество;
б) – выпуклый многоугольник;
в) – выпуклая неограниченная многоугольная область.
Если а), то задача не имеет решения; б) или в) – переходим к пункту 2.
По целевой функции строим вектор (градиент целевой функции), через начало координат проводим прямую (линию нулевого уровня целевой функции): .
При решении задачи максимизации (минимизации) прямую перемещаем параллельно в направлении вектора (вектора - ) в наиболее отдалённую точку А (точку В) множества плана . Координаты точки А (точки В) и составляют оптимальный план задачи максимизации (минимизации) функции на множестве .
Если множество – ограничено, то задача всегда имеет решение. Если же – неограниченная многоугольная область, то задача может не иметь решения в случае, когда не существует наиболее удалённой точки, то есть целевая функция неограниченно возрастает (убывает) на .
Если задача имеет оптимальный план, то он достигается либо в одной из вершин границы множества , либо на одной из её сторон (альтернативный оптимум).
Каноническая задача. Базисный план. Формула приращений
Метод разработан для канонической задачи линейного программирования
(1)
Её особенность: целевая функция максимизируется; все основные ограничения имеют вид равенств; на все переменные наложены прямые ограничения неотрицательности.
Введём обозначения:
индексное множество номеров переменных.
индексное множество номеров основных ограничений.
ый столбец матрицы А.
Определение. Пусть дан некоторый план . Его будем называть базисным планом, если компоненты можно разбить на две группы: базисные или и небазисные и выполняются два условия:
а) небазисные компоненты плана нулевые ;
б) базисным компонентам соответствуют линейно-независимые столбцы матрицы А, то есть .
Построим матрицу . Согласно определению, она не вырождена . Эта матрица называется базисной, а матрица называется небазисной.
Определение. Базисный план называться невырожденным, если все базисные компоненты положительны .
Формула приращений целевой функции
Будем рассматривать задачу вида:
(1)
Предположим, что известен базисный план , характеризующийся индексным множеством . Рассмотрим произвольный другой план и подсчитаем, как изменится целевая функция при переходе .
Обозначим через – вектор приращения базисного плана, тогда по базисному множеству введем разбиение:
поскольку – планы задачи (1), то выполняется соотношения:
Вычитая основные ограничения, получим: или .
Таким образом,
(2)
Формула (2) выражает базисные компоненты вектора приращений через небазисные. И если вектор удовлетворяет (2), то вектор будет планом задачи тогда и только тогда, когда – будет план, причём . Для приращения целевой функции получим:
(3)
где вектор оценок, – вектор потенциалов.
(3) – искомая формула приращения целевой функции при переходе от базисного плана к произвольному плану . Её можно переписать
(3)