10.6. Рішення систем диференціальних рівнянь першого порядку

Вивчені чисельні методи легко поширюються на випадок систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Нехай дана система з двох рівнянь

(10.24)

відносно невідомих функцій і від змінної . Рішенням її на деякому скінченному або нескінченному проміжку називається пара, що безперервно диференціюються на X функцій , які при підстановці на систему перетворюють рівняння в тотожність па X. Задача Коші для системи (10.24) полягає в пошуку таких рішень та які задовольняють початковим умовам:

(10.25)

Вважатимемо, що в досить великій околиці початкових даних виконані умови існування і єдиності рішення задачі Коші, а також необхідні для виведення розрахункових формул властивості функцій f1і f2 - неперервність усіх їх часткових похідних першого і другого порядку. В цьому випадку має місце теорема, що гарантує неперервність першої і другої похідних функцій і , аналогічна теоремі 10.2.

Чисельне рішення задачі Коші шукається у вигляді двох таблично заданних функцій і , визначених на одній і тій же множині точок . Початковими даними цих таблиць є , і , відповідно.

Алгоритм методу Ейлера складається з послідовних обчислень по формулах

Формули для модифікованих методів Ейлера можна вивести самостійно.

Вправи

10.20.Опишіть алгоритми побудови чисельного рішення задачі Коші для системи

з початковими умовами , , і методом Ейлера і обома його модифікаціями 10.21. Знайдіть на відрізку з кроком чисельне рішення

системи

,

що задовольняє початковим умовам: і , використовуючи: а) метод Ейлера; б) метод серединних точок.

10.7. Числове рішення диференціальних рівнявань вищих порядків

Основна ідея числового рішення звичайного диференціального рівняння n - го порядку полягає в заміні цього рівняння на відповідну систему з n диференціальних рівнянь першого порядку.

Нехай дано рівняння третього порядку

(10. 27)

і нехай - точне рішення рівняння (10. 27), яке задовольняє початковим умовам

(10. 28)

Необхідно побудувати таблично задану функцію що є наближенням до .

Щоб вирішити це завдання, зробимо заміну і представимо рівняння (10. 27) у вигляді системи

(10.29)

Початкові умови (10.28) перепишуться так:

(10.30)

Рішення задачі Коши для системи (10.29) з умовами (10.30) дасть

три функції одна з яких, а саме , є точним рішенням задачі Коші для початкового рівняння (10.27).

Таким чином, якщо знайти задовольняюче початковим умовам (10.30) чисельне рішення системи (10.29), яке складається з трьох таблично заданих функцій то таблиця - шукана.

Вправа

9.22. Дано рівняння і початкові умови Застосовуючи метод Ейлера, знайдіть чисельне рішення задачі Коші на відрізку з кроком .

Лабораторна робота № 9